Шрифт:
Как же я могу переделать член dh/dt, чтобы в нем появилось h? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказывается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию S и затем проинтегрировать по частям так, чтобы производные от h исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.
Припомните общий принцип интегрирования по частям. Если у вас есть произвольная функция f, умноженная на dh/dt и проинтегрированная по t, то вы расписываете производную от hf:
В интересующем вас интеграле стоит как раз последнее слагаемое, так что
В нашей формуле для dS за функцию f принимается произведение т на dx/dt; поэтому я получаю для dS выражение
В первый член должны быть подставлены пределы интегрирования t1и t2. Тогда я получу под интегралом член от интегрирования по частям и последний член, оставшийся при преобразовании неизменным.
А теперь происходит то, что бывает всегда,— проинтегрированная часть исчезает. (А если не исчезает, то нужно переформулировать принцип, добавив условия, обеспечивающие такое исчезновение!) Мы уже говорили, что hна концах пути должна быть равна нулю. Ведь в чем состоит наш принцип? В том, что действие минимально при условии, что варьируемая кривая начинается и кончается в избранных точках. Это значит, что h(t1)=0 и h(t2)=0. Поэтому проинтегрированный член получается равным нулю. Мы собираем воедино остальные члены и пишем
Вариация S теперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его F), и все это умножено на h(t)и проинтегрировано от t1до t2.
У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умноженного на h(t), всегда равен нулю:
Стоит какая-то функция от t; умножаю ее на h(t) и интегрирую ее от начала до конца. И какова бы ни была h, я получаю нуль. Это означает, что функция F(t)равна нулю. В общем-то это очевидно, но я на всякий случай покажу вам один из способов доказательства.
Пусть в качестве h (t) я выберу нечто, что равно нулю всюду, при всех t, кроме одного, заранее выбранного значения t. Оно
остается нулем, пока я не
дойду до этого t,
затем оно подскакивает на мгновение и сразу же осаживает назад. Если вы берете интеграл от этой h, умноженной на какую-то функцию F, то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое,— это там, где h (t) подскакивало; и у вас получится значение F в этом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на F он должен дать нуль. Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, F должна быть нулем всюду.
Мы видим, что если наш интеграл равен нулю при какой угодно h, то коэффициент при hдолжен обратиться в нуль. Интеграл действия достигает минимума на том пути, который будет удовлетворять такому сложному дифференциальному уравнению:
На самом деле оно не так уж сложно; вы его уже встречали прежде. Это просто F=ma. Первый член — это масса, умноженная на ускорение; второй — это производная от потенциальной энергии, т. е. сила.
Итак, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к правильному ответу; он утверждает, что путь, "обладающий минимумом действия,— это путь, удовлетворяющий закону Ньютона.
Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это минимум. Может быть, это максимум. На самом деле это и не обязательно должен быть минимум. Здесь все так же, как в «принципе кратчайшего времени», который мы обсуждали, изучая оптику. Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в которых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений первого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деде подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум».
Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В первую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого x я тогда имел бы x, у и z как функции t, и действие выглядело бы посложнее. При трехмерном движении вы должны использовать полную кинетическую энергию: (m/2), умноженное на квадрат всей скорости. Иначе говоря
Кроме того, потенциальная энергия теперь является функцией x, у и z. А что можно сказать о пути? Путь есть некоторая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко начертить, но идея остается прежней. А как обстоит дело с h? Что ж, и h имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по x, и по у, и по z, или во всех трех направлениях одновременно. Так что hтеперь вектор. От этого сильных усложнений не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариации первого порядка, то можно провести расчет последовательно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть h только в направлении xи сказать, что коэффициент должен обратиться в нуль. Получится одно уравнение. Потом мы сдвинем h в направлении у и получим второе. Затем сдвинем в направлении z и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь закон Ньютона — это тоже три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компоненты. Вам предоставляется самим убедиться, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много). Между прочим, можно взять какую угодно систему координат, полярную, любую, и сразу получить законы Ньютона применительно к этой системе, рассматривая, что получится, когда произойдет сдвиг h вдоль радиуса или по углу, и т. д.