Шрифт:
Даже когда b/a=2 (а это приводит уже к довольно большим отличиям между постоянным и линейным полем), я все еще получаю довольно сносное приближение. Ответ, конечно, как и ожидалось, чуть завышен. Но если тонкую проволочку поместить внутри большого цилиндра, то все выглядит уже гораздо хуже. Тогда поле изменяется очень сильно и замена его постоянным полем ни к чему хорошему не приводит. При b/а=100мы завышаем ответ почти вдвое. Для малых b/а положение выглядит намного лучше. В противоположном пределе, когда промежуток между проводниками не очень широк (скажем, при b/а=1,1), постоянное поле оказывается весьма хорошим приближением, оно дает значение С с точностью до десятых процента.
А теперь я расскажу вам, как усовершенствовать этот расчет. (Ответ для цилиндра вам, разумеется, известен, но тот же способ годится и для некоторых других необычных форм конденсаторов, для которых правильный ответ вам может быть и не известен.) Следующим шагом будет подыскание лучшего приближения для неизвестного нам истинного потенциала j. Скажем, можно испытать константу плюс экспоненту j и т. д. Но как вы узнаете, что у вас получилось лучшее приближение, если вы не знаете истинного j? Ответ: Подсчитайте С; чем оно ниже, тем к истине ближе. Давайте проверим эту идею. Пусть потенциал будет не линейным, а, скажем, квадратичным по r, а электрическое поле не постоянным, а линейным. Самая общая квадратичная
форма, которая обращается в j =0 при r=b и в j =V при r=а, такова:
где a — постоянное число. Эта формула чуть сложнее прежней. В нее входит и квадратичный член, и линейный. Из нее очень легко получить поле. Оно равно просто
Теперь это нужно возвести в квадрат и проинтегрировать по объему. Но погодите минутку. Что же мне принять за a? За j я могу принять параболу, но какую? Вот что я сделаю: подсчитаю емкость при произвольном a. Я получу
Это выглядит малость запутанно, но так уж выходит после интегрирования квадрата поля. Теперь я могу выбирать себе а. Я знаю, что истина лежит ниже, чем все, что я собираюсь вычислить. Что бы я ни поставил вместо a, ответ все равно получится слишком большим. Но если я продолжу свою игру с а и постараюсь добиться наинизшего возможного значения С, то это наинизшее значение будет ближе к правде, чем любое другое значение. Следовательно, мне теперь надо подобрать а так, чтобы значение С достигло своего минимума. Обращаясь к обычному дифференциальному исчислению, я убеждаюсь, что минимум С будет тогда, когда a=-2b/(b+а). Подставляя это значение в формулу, я получаю для наименьшей емкости
Я прикинул, что дает эта формула для С при различных значениях b/а. Эти числа я назвал С (квадратичные). Привожу таблицу, в которой сравниваются С (квадратичные) с С (истинными).
Например, когда отношение радиусов равно 2:1, я получаю 1,444. Это очень хорошее приближение к правильному ответу, 1,4423. Даже при больших b/а приближение остается довольно хорошим — оно намного лучше первого приближения. Оно остается сносным (завышение только на 10%) даже при b/а=10:1. Большое расхождение наступает только при отношении 100:1. Я получаю С равным 0,346 вместо 0,267. С другой стороны, для отношения радиусов 1,5 совпадение превосходное, а при b/a=1,1 ответ получается 10,492065 вместо положенного 10,492070. Там, где следует ожидать хорошего ответа, он оказывается очень и очень хорошим.
Я привел все эти примеры, во-первых, чтобы продемонстрировать теоретическую ценность принципа минимального действия и вообще всяких принципов минимума, и, во-вторых, чтобы показать вам их практическую полезность, а вовсе не для того, чтобы подсчитать емкость, которую мы и так великолепно знаем. Для любой другой формы вы можете испробовать приближенное поле с несколькими неизвестными параметрами (наподобие а) и подогнать их под минимум. Вы получите превосходные численные результаты в задачах, которые другим способом не решаются.
Добавление, сделанное после лекции
Мне не хватило времени на лекции, чтобы сказать еще об одной вещи (всегда ведь готовишься рассказать больше, чем успеваешь). И я хочу сделать это сейчас. Я уже упоминал о том, что, готовясь к этой лекции, заинтересовался одной задачей. Мне хочется вам рассказать, что это за задача. Я заметил, что большая часть принципов минимума, о которых шла речь, в той или иной форме вытекает из принципа наименьшего действия механики и электродинамики. Но существует еще класс принципов, оттуда не вытекающих. Вот пример. Если сделать так, чтобы токи протекали через массу вещества, удовлетворяющего закону Ома, то токи распределятся в этой массе так, чтобы скорость, с какой генерируется в ней тепло, была наименьшей. Можно также сказать иначе (если температура поддерживается постоянной): что скорость выделения энергии минимальна. Этот принцип, согласно классической теории, выполняется даже в распределении скоростей электронов внутри металла, по которому течет ток. Распределение скоростей не совсем равновесно [см. гл. 40 (вып. 4), уравнение (40.6)], потому что они медленно дрейфуют в стороны. Новое распределение можно найти из того принципа, что оно при данном токе должно быть таково, что развивающаяся в секунду за счет столкновений энтропия уменьшится настолько, насколько это возможно. Впрочем, правильное описание поведения электронов должно быть квантовомеханическим. Так вот в чем состоит вопрос: должен ли этот самый принцип минимума развивающейся энтропии соблюдаться и тогда, когда положение вещей описывается квантовой механикой? Пока мне не удалось это выяснить.
Вопрос этот интересен, конечно, и сам по себе. Подобные принципы возбуждают воображение, и всегда стоит попробовать выяснить, насколько они общи. Но мне необходимо это знать и по более практической причине. Вместе с несколькими коллегами я опубликовал работу, в которой с помощью квантовой механики мы примерно рассчитали электрическое сопротивление, испытываемое электроном, пробирающимся сквозь ионный кристалл, подобный NaCl. [Статья об этом была напечатана в Physical Review, 127, 1004 (1962) и называется «Подвижность медленных электронов в полярных кристаллах».] Но если бы существовал принцип минимума, мы могли бы воспользоваться им, чтобы сделать результат намного более точным, аналогично тому как принцип минимума емкости конденсатора позволил нам добиться столь высокой точности для емкости, хотя об электрическом поле наши сведения были весьма неточными.