Математическое доказательство содержится в уравнении (4) из упражнения 1. Те же эксперименты демонстрируют наличие слабой корреляции между выборками и партиями.

В эксперименте надо всего лишь разделить на две части партию из 50 бусин, одна часть будет выборкой, другая – остатком (рис. 56). Для каждой партии сосчитайте и запишите число красных бусин в выборке и в остатке; затем верните 50 бусин этой партии в емкость. Перемешайте бусины и извлеките новую партию.

Полезно ввести некоторые обозначения. Партии постоянного объема N поступают с дефектами, распределенными биномиально со средним значением p. Из каждой партии извлекается без возврата выборка постоянного объема n. Считается число дефектов в каждой выборке и в каждом остатке. Пусть число дефектов в выборке будет s, а число дефектов в остатке – r (как и раньше). Тогда s и r будут случайными числами, для совместного распределения которых существует уравнение (4)). Пусть

= s/n, доля красных в выборке,

'= r/(N – n), доля красных в остатке,

E

= p,

Var

= pq/n,

E

'= p,

Var

'= pq/(N – n),

Cov (

,

') = 0.

Дисперсии

и ' уменьшаются с ростом N и n. Следовательно, большая выборка из крупной партии обеспечивает информацию о числе дефектов в оставшейся части совокупности и в партиях. Более того, мы можем для количественной проблемы (когда наша цель – дать характеристику партии по выборке) применить выборочную теорию для оценки партии и стандартных ошибок этих оценок.

Теперь взглянем на некоторые реальные результаты для выбранных объемов партий и выборок. На рис. 57–60 показана доля красных бусин в биномиальных выборках и остатках для выбранных значений N и n (данные были любезно подготовлены моим другом Бенджамином Теппингом на его компьютере). На самом деле выборка и оставшаяся часть – это выборки из одной и той же партии. На каждом графике представлены 100 выборок. Графики явно демонстрируют нулевую корреляцию между выборкой и остатком. Но чем больше выборка, тем лучше оценка доли красных бусин в выборках и остатках. Так, рис. 60 для выборки n = 1000 и остатка N – n = 9000 показывает, что большая выборка обеспечивает хорошую оценку как остатка, так и всей совокупности (выборка плюс остаток – в нашем случае чаша с красными и белыми бусинами), даже несмотря на то, что выборка и остаток некоррелированы. Удивительная особенность статистической теории состоит в том, что она позволяет нам по одной-единственной выборке, если та достаточно велика, вычислить размер поля, которое покрывает на рис. 57–60 в среднем 95 % (например) возникших точек. Таким образом, выборочная теория обеспечивает оценки остатков и всех партий, а также дает значения стандартных ошибок этих оценок [118] .

Рис. 57. N = 50, n = 20. Здесь выборка и остаток близки по объему, 20 и 30 соответственно. График показывает отсутствие корреляции между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке

Рис. 58. N = 600, n = 20. Здесь вариации в доле красных бусин в остатке явно намного меньше, чем в выборке. Причина в том, что остаток имеет объем N – n = 600 – 20 = 580 , что многократно превышает объем выборки. Здесь снова корреляция между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке, по-видимому, равна нулю

Рис. 59. N = 600, n = 200. Здесь видно, что происходит, когда мы увеличиваем объем выборки до 200 и уменьшаем объем остатка до 400. Этот график, как и раньше, иллюстрирует нулевую корреляцию между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке

Рис. 60. N = 10 000, n = 1000. Опять никакой корреляции

George Barnard, «Sampling inspection and statistical decisions», Journal of the Royal Statistical Society, ser. B, vol. 16 (1954): 151–171 (Discussion of Mood's theorem).

David Durand, «Stable Chaos, General Learning Press, 1971. (См. стр. 234.)

A. Hald, «The compound hypergeometric distribution and a system of single sampling plans based on prior distributions and costs», Technometrics 2 (1960): 275–340. (Discussions on prior distributions).

Statistical Theory of Sampling Inspection by Attributes, Academic Press, 1981.

H. Hamaker, «Economic principles in industrial planning problems: a general introduction», Proceedings of the International Statistical Conference (India, 1951) 33, pt. 5 (1951): 106–119.

«Some basic principles of sampling inspection by attributes», Applied Statistics (1958): 149–158. (Interesting discussion of various approaches).

I. David Hill, «The economic incentive provided by sampling inspection», Applied Statistics 9, (1960): 69–81.

«Sampling inspection in defense specification DEF – 131», «Journal of the Royal Statistical Society, ser. A, vol. 125 (1962): 31–87.

Alexander Mood, «On the dependence of sampling inspection plans upon population distributions», Annals of Mathematical Statistics 14 (1943): 415–425.

Joyce Orsini, «Simple rule to reduce total cost of inspection and correction of product in state of chaos», Ph. D. dissertation, Graduate School of Business Administration, New York University, 1982.