Ответ: 45.

Задача 75. Пять победителей конкурса «Кто громче крикнет» получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?

Трое съели 15 орехов. После этого у них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до этого у них было столько, сколько выдали троим. Значит, 15 орехов было выдано каждому из них.

Ответ: 75.

Задача 76. На верхней полке было в 7 раз больше книг, чем на нижней. Когда с верхней полки взяли 12 книг, а на нижнюю поставили еще 8 книг, то на верхней полке оказалось в три раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Одно из возможных уравнений составляется так:

(Стало на верхней полке) = 3 · (Стало на нижней полке),

х — было на нижней полке,

7х — было на верхней полке,

7х — 12 = 3 · (х + 8).

Ответ: На верхней полке было 63 книги, на нижней — 9.

Задача 77. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым ходом, взяв из второго ящика 30 шариков. Партнер обязательно нарушит полученное равенство, а мы опять восстановим его. Число шариков все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число шариков в ящиках доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет.

Ответ: Нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков, и в дальнейшем каждый раз уравнивать их число.

Задача 78. Известно, что а · b — 12. Чему равно (а : 3) · b?

Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 36.

Задача 79. Задача из Древней Греции. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у всех муз и граций плодов стало поровну. Сколько плодов было у каждой грации до встречи, если у муз не было ни одного плода?

Минимальное число плодов, которое могла отдать грация каждой музе, равно 1. В этом случае каждая муза получила бы по три плода. Значит, у каждой музы и каждой грации в результате оказалось бы по три плода. Всего, таким образом, в задаче имелось 3 · 12 = 36 плодов. Поэтому у каждой грации первоначально имелось по 36 : 3 = 12 плодов.

Проверим полученное предположение. Если у каждой из 3 граций было по 12 плодов и если каждая грация дала каждой из 9 муз по одному плоду, то у каждой грации осталось по 3 плода, а у каждой музы стало тоже по 3 плода.

Однако, это решение не единственное. Если предположить, что каждая грация отдала каждой музе по 2 плода, то мы приходим к ответу 6, а если по 3 плода, то ответ будет 24. Вообще можно считать, что грация передает каждой музе по одинаковой кучке плодов, и тогда ответом будет 12, умноженное на число плодов в этой кучке.

Ответ: Любое число, делящееся на 12.

Задача 80. Ученый Виженер придумал такой способ шифровки текста. Вначале задумывается какое-нибудь слово (ключ шифра). Затем определяются номера букв этого слова в алфавите. А затем в шифруемом тексте каждая буква заменяется на следующую за ней в алфавите с таким сдвигом, который указывает полученный ключ. Например, зашифруем фразу «Сегодня хорошая погода» с помощью ключа «гав». Определим номера букв в ключе:

Теперь сдвинем буквы в соответствии с ключом, повторяя его, сколько нужно раз:

Последняя запись и будет шифром. Объясни, как, зная ключ «гав», прочитать запись «Хжжтерг цсфпыда ттдсзб».

Ответ: Нужно записать под данной фразой цифры 413…, а затем сдвигаться по алфавиту назад на столько букв, какова цифра под расшифровываемой буквой.

Задача 81. Известно, что а · b = 18. Чему равно (а · 2) · (b : 3)?

Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 12.

Задача 82. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, другой — в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в этом турнире?