Сумма нескольких первых нечетных чисел равна их числу, умноженному на себя: 1 = 1 · 1, 1 + 3 = 2 · 2, 1 + 3 + 5 = 3 · З и т. д. Это хорошо видно на чертеже:

Добавляя к квадрату очередное нечетное число, мы снова получаем квадрат.

Ответ: 100 · 100 = 10000.

Задача 99. Известно, что а : b = 10. Чему равно (а · 3) : (b · 5)?

Надо попросить детей придумать текст задачи на эту тему.

Ответ: 6.

Задача 100. Шесть котов за шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за сто минут съесть сто мышей?

Обычный ответ «100 котов» неверен. Шестерка котов, о которых говорится в задаче, за 6 минут съедает 6 мышей, то есть за каждую минуту она съедает одну мышь.

Ответ: 6 котов.

Задача 101. Сделай рисунок симметричным

Задача 102. Одна из 75 одинаковых по виду монет — фальшивая, она несколько отличается по весу от остальных. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить, легче или тяжелее эта монета, чем остальные.

Разделим монеты на три группы по 25 монет и сравним веса первой и второй группы, а затем — первой и третьей группы.

Задача 103. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 5 до 25?

Нулей столько, сколько множителей 10 в этом произведении. Множитель 10 состоит из множителей 2 и 5. Пятерок в данном наборе множителей меньше, чем двоек, поэтому десяток будет столько, сколько пятерок. Пятерки встречаются в числах 5, 10, 15, 20 и 25. Но в числе 25 две пятерки, значит, всего пятерок в этом произведении 6.

Ответ: 6.

Задача 104. В надписи «гбжщве дгмё фсрземлсетэ», зашифрованной шифром Винежера, имеется слово «явка». Известно, что ключ состоит из четырех букв. Расшифруй надпись.

Слово «явка», присутствующее в тексте, — единственное четырехбуквенное слово «дгмё». Значит, я перешло при шифровке в д, в — в г, к — в м, а — в ё. В первом случае имеем сдвиг на 5 букв, во втором — на 1, в третьем — на 2, в четвертом — на 6 букв, что соответствует такой расшифровке:

Ответ: «Бывшая явка провалилась».

Задача 105. Кузнечик прыгает по прямой. Каждый прыжок вправо равен 3 дм, а каждый прыжок влево равен 5 дм. Сможет ли он попасть из точки А в точку В, лежащую вправо от А на расстоянии 1 дм?

Надо, чтобы Зх — 5у, где х — число прыжков вправо, а у — число прыжков влево, было равно 1. Это получается, например, при х = 7, у = 4.

Ответ: Можно сделать из А (в любом порядке) 7 прыжков вправо и 4 прыжка влево.

Задача 106. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50.

4 + 6 + 8 +… + 46 + 48 + 50 — это сумма двадцати четырех чисел. Пары чисел, одинаково удаленных от концов этого выражения, составляют в сумме 54 : 4 + 50 = 6 + 48 = 8 + 46, так как каждый раз первое слагаемое увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Таких пар 12. Значит, общая сумма равна 54 · 12.

Ответ: 648.

Задача 107. В обычном домино наибольшее значение клетки — 6 очков. В нем всего 28 косточек. Сколько будет косточек в домино, у которого наибольшее число очков — 7?

Представим себе, что мы должны сделать такое домино и что нам в качестве полуфабриката выдали отдельные квадратики. Мы должны склеить эти квадратики по два в косточки домино. На одних квадратиках мы поставим по семь точек: