Шрифт:
m
M
.
(5)
Но можно ли считать, что полученная формула даёт ответ на поставленный вопрос? Она выражает искомую величину через приведённые в условии данные, но ставить точку рано, полученный результат нужно ещё исследовать. Очевидно, что отношение Q/E должно быть положительным, поэтому напрашивается вывод, что формула (5) применима при m/M<3. Пусть, например, отношение m/M=2. Тогда формула (5) даёт для Q/E значение 1/4 . Казалось бы, всё в порядке, поскольку Q/E получилось положительным и меньшим единицы. И тем не менее этот результат не имеет смысла при приведённых в условии задачи данных. Действительно, посмотрим на формулу (2). Из неё следует, что при m/M=2 скорость V=v: пробитый пулей насквозь шар летит со скоростью, вдвое превышающей скорость пули v/2! Получилась явная физическая бессмыслица. Уже в процессе решения после получения формулы (2) следовало бы обратить внимание на то, что, пробив шар насквозь, пуля может иметь скорость v/2 только при выполнении условия v/2>V, т.е. при
m
M
<
1
.
(6)
Только в совокупности с условием (6) формула (5) даёт ответ на поставленный в данной задаче вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от отношения масс m/M во внутреннюю энергию может превратиться от половины (при m->M) до трёх четвертей (при m->0) первоначальной кинетической энергии.
Теперь подумаем о том, имеет ли какой-нибудь смысл формула (5) при 1<=m/M<=3. Если m=M, то из формулы (2) следует, что V=v/2, т.е. шар и пуля имеют одинаковую скорость. Столкнувшиеся тела летят вместе, т.е. пуля застревает в шаре. В этом случае говорят об абсолютно неупругом ударе. Конечно, не следует думать, что абсолютно неупругий удар возможен только при m=M: здесь так получилось, потому что в условии задана конечная скорость, равная, v/2 Если же выполняется строгое неравенство 1<m/M<3, то после столкновения шар летит впереди пули со скоростью V, определяемой формулой (2): v/2<V<3v/2. При таком неупругом ударе во внутреннюю энергию переходит до половины первоначальной кинетической энергии. Наконец, если m/M=3, то, как видно из (4), Q=0, т.е. тепло вообще не выделяется: при ударе сохраняется механическая энергия. Это случай абсолютно упругого удара.
11. Выскальзывающая доска.
На конце доски длины L и массы M находится маленький брусок массы m (рис. 11.1). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность доски равен . Какую горизонтальную скорость v нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Рис. 11.1. Доска мгновенно получает начальную скорость v
При сообщении доске горизонтальной скорости v резким толчком или ударом брусок не получает начальной скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не может превосходить mg и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчёта, связанной с землёй, брусок движется равноускоренно, а доска - равнозамедленно.
Если начальная скорость доски v невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковое значение. В этот момент проскальзывание прекращается, дальше оба тела движутся равномерно с одинаковой скоростью v как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок проскользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.
Обозначим расстояние, пройденное бруском по доске до момента превращения проскальзывания, через s. Очевидно, что при выполнении неравенства sL доска не выскальзывает из-под бруска. Если это неравенство не выполняется, то доска выскользнет из-под бруска.
Эта задача служит наглядным примером того, насколько проще и быстрее может приводить к ответу использование законов сохранения по сравнению с непосредственным применением законов динамики. Оказывается, что достаточно выписать два уравнения, соответствующих законам сохранения импульса и энергии, чтобы немедленно получить ответ.
Поскольку по условию между доской и плоскостью трение отсутствует, то направленный горизонтально полный импульс системы остаётся без изменения. Так как после прекращения проскальзывания оба тела движутся с одинаковой скоростью v, то
Mv
=
(M+m)v
.
(1)
Для применения закона сохранения энергии нужно прежде всего подсчитать работу сил трения, действующих между бруском и доской. Эти силы равны по модулю и противоположно направлены. Сила трения, действующая на брусок, разгоняет его, увеличивая его кинетическую энергию. Работа этой силы положительна. Сила трения, действующая на доску, тормозит её; работа этой силы отрицательна. Очевидно, что относительно земли точка приложения силы трения, действующей на доску, совершает перемещение s которое больше перемещения точки приложения второй силы трения s на величину s (рис. 11.2). Поэтому суммарная работа сил трения отрицательна и равна -mgs.
Рис. 11.2. Перемещение доски s больше перемещения бруска s на величину s
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии записывается в виде
(M+m)v^2
2
–
Mv^2
2
=
– mgs
.
(2)
Выражая v из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
s
=
1
2
M
M+m
v^2
g
.
(3)
Если вычисленное по формуле (3) значение s окажется больше L, то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски v она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение v:
v
>
2gL(1+m/M)
.
(4)
Длиннее оказалось бы решение, основанное на непосредственном применении законов Ньютона. При таком решении прежде всего, определив ускорения тел, пришлось бы написать уравнения, выражающие зависимость от времени скоростей доски и бруска относительно земли. Это дало бы возможность найти момент времени, в который эти скорости окажутся одинаковыми. После этого, написав уравнения, выражающие зависимость положений доски s и бруска s от времени (рис. 11.2), можно найти то расстояние s, на которое переместится брусок относительно доски к моменту прекращения проскальзывания. Проделайте сами указанные выкладки и убедитесь, что они приводят к тому же самому результату (3).