12. Шарик на стержне.

Невесомый стержень с шариком на верхнем конце начинает падать из вертикального положения без начальной скорости (рис. 12.1). Нижний конец стержня упирается в уступ. Какой угол с вертикалью будет составлять скорость шарика в момент удара о горизонтальную плоскость?

Рис. 12.1. Начальное положение стержня

Не странно ли, что в условий отсутствуют какие бы то ни было количественные данные, такие как длина стержня и масса шарика? Для начала проанализируем задачу с точки зрения размерности. Найти нужно угол, т.е. величину безразмерную. Если бы искомый угол и зависел от линейных размеров, то только от безразмерного отношения двух длин. Однако рассматриваемая система характеризуется лишь одним таким параметром - длиной стержня. Поэтому искомый угол не может зависеть от длины стержня. По тем же соображениям он не зависит и от массы шарика. Не может он зависеть и от ускорения свободного падения g, ибо размерность g содержит время. Таким образом, результат не зависит от силы тяжести, хотя в отсутствие силы тяжести стержень вообще не падал бы. Ответ должен выражаться числом, которое не зависит от того, производится ли такой опыт на Земле, Луне или любой другой планете.

На идеально гладкой поверхности шарик из неустойчивого положения равновесия падал бы вертикально вниз, а конец стержня скользил бы по поверхности. Уступ препятствует скольжению стержня влево. Если нижний конец начнёт двигаться вправо, то шарик будет падать вертикально вниз, т.е. скорость его направлена по вертикали.

Интереснее случай, когда стержень начинает падать вправо. Шарик движется по дуге окружности до тех пор, пока действующая на него сила реакции стержня не обратится в нуль. Дальнейшее движение до удара о горизонтальную плоскость происходит по параболе, так как на шарик действует только сила тяжести.

Рис. 12.2. Падающий стержень

Найдём сначала угол , который стержень образует с вертикалью в тот момент, когда сила реакции стержня обращается в нуль. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление к центру окружности (рис. 12.2):

mv^2

l

=

mg

cos

(1)

(l - длина стержня). Входящую в (1) скорость шарика v можно выразить через угол с помощью закона сохранения энергии:

mgl

(1-cos )

=

mv^2

2

.

(2)

Подставляя v^2 из (2) в (1), получим уравнение для определения , которое даёт cos =2/3. Таким образом, свободное движение шарика начинается на высоте 2l/3 со скоростью v=2gl/3. Горизонтальная проекция скорости шарика

v

г

=

v

cos

=

2

3

2gl/3

(3)

в дальнейшем остаётся неизменной.

Рассмотрим теперь момент удара шарика о горизонтальную плоскость. Модуль скорости v в этот момент будет таким же, как при свободном падении с высоты l: v=2gl Направление скорости проще всего найти, выражая синус угла , образуемого вектором скорости v с вертикалью (рис. 12.2), как отношение vг/v:

sin

=

vг

v

=

2

3

3

=

0,385

,

откуда

=22°40'

.

Если бы требовалось определить не только угол , но ещё и скорость или место падения шарика на плоскость, то было бы необходимо задать длину стержня l. Отметим, что разобранная задача имеет много общего с широко известной задачей о соскальзывании шайбы с полусферы или полуцилиндра.

13. Мёртвая петля.

Рис. 13.1. «Мёртвая петля»

Небольшое тело скользит без трения по наклонному жёлобу, который затем переходит в круговую «мёртвую петлю» радиуса R (рис. 13.1). С какой минимальной высоты h должно спускаться тело без начальной скорости, чтобы оно не оторвалось от желоба? Какова должна быть начальная высота для того, чтобы тело смогло преодолеть «мёртвую петлю» с симметрично вырезанной верхней частью (рис. 13.2)?

Рис. 13.2. «Мёртвая петля» с вырезом

Движение тела под действием одной лишь силы тяжести, как известно, происходит по параболической траектории. Поэтому для движения по круговому жёлобу, расположенному в вертикальной плоскости, кроме силы тяжести на тело должны действовать и другие силы. В отсутствие трения такой силой может быть только сила реакции N желоба, направленная по нормали к его поверхности (рис. 13.3). Очевидно, что тело не отрывается от желоба, пока эта сила не равна нулю. Если происходит отрыв тела от желоба, то в точке отрыва сила N обращается в нуль. После отрыва от желоба движение тела происходит только под действием силы тяжести и тело движется по параболе.

Рис. 13.3. Силы, действующие на тело

Предположим, что тело, не отрываясь, движется по жёлобу, и вычислим силу реакции N желоба в произвольной точке, положение которой определяется углом (рис. 13.3). Составим уравнение второго закона Ньютона для этой точки:

mg

+

N

=

ma

.

(1)

Для нахождения модуля силы N спроецируем уравнение (1) на радиальное направление. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна v^2/R, из уравнения (1) имеем