Таким образом, мы нашли условие соскальзывания бруска при любых , и :

a

<

g

sin -cos

cos +sin

.

Пусть теперь ускорение плоскости a немного больше a. Тогда при =0 брусок перемещался бы вверх вдоль плоскости; при /=0 возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом a увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что сила трения F достигает своего максимального значения N, брусок начинает скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости a сила трения становится равной N (рис. 7.2в). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска mg+N+F=ma и проецируя его на те же направления:

mg

sin

+

N

=

ma

cos

,

N

–

mg

cos

=

ma

sin

,

находим

a

=

g

sin +cos

cos -sin

.

Итак, если ускорение плоскости a>a, брусок скользит вверх. Заметим, что a при =ctg обращается в бесконечность. Это означает, что при >=ctg брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.

Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости:

g

sin -cos

cos +sin

<=

a

<=

g

sin +cos

cos -sin

, <= ctg

;

,

>= ctg .

8. Брусок на подвижном клине.

На верхнюю часть клина массы M, который может без трения перемещаться по горизонтальной поверхности (рис. 8.1), кладут брусок массы m и отпускают без начального толчка. Какую горизонтальную скорость приобретает клин к тому моменту, когда брусок соскользнёт до конца? Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости бруска v, если угол при основании клина равен ? Высота клина равна h. Трением между бруском и поверхностью клина пренебречь.

Рис.8.1. В начальный момент брусок и клин неподвижны

Проще всего ответить на поставленные вопросы, используя законы сохранения импульса и энергии. Однако в данном случае одних законов сохранения недостаточно. Необходимо ещё использовать кинематическую связь между скоростями клина и бруска, выражающую условие того, что движение бруска происходит именно по поверхности клина.

Рис. 8.2. Скорость бруска относительно клина направлена вдоль поверхности клина

Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска относительно земли через vx и vy, а скорость клина в тот же момент времени через -V. Поскольку при соскальзывании бруска клин движется налево, то горизонтальная составляющая скорости бруска относительно клина равна vx+V (рис. 8.2). Полная скорость бруска относительно клина должна быть направлена вдоль его поверхности, поэтому с помощью рис. 8.2 сразу находим

v

y

=

(

v

x

+

V

)

tg

.

(1)

Это и есть искомое кинематическое соотношение.

Рис. 8.3. Вектор скорости v и траектория бруска (пунктир) относительно земли

Вектор скорости бруска относительно земли v образует угол с горизонтом, тангенс которого равен отношению vy/vx (рис. 8.3). Поэтому с помощью соотношения (1) имеем

tg

=

vy

vx

=

1

+

V

vx

tg

.

(2)

Величины vx и V можно связать с помощью условия сохранения горизонтальной составляющей импульса системы, которое выражает тот факт, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении:

mv

x

=

MV

.

(3)

Соотношение (3) позволяет переписать формулу (2) для tg в виде

tg

=

1

+

m

M

tg

.

(4)

На рис. 8.3 пунктиром показана траектория бруска относительно земли. Если масса бруска много меньше массы клина, т.е. m/M<<1, то из формулы (4) получаем . Так и должно быть, ибо в этом предельном случае клин практически не приходит в движение. В другом предельном случае m/M>>1 угол /2: лёгкий клин выскальзывает из-под тяжёлого бруска, который падает практически отвесно.