Осталось найти только горизонтальную скорость клина в момент, когда брусок соскользнёт до его основания. Это можно сделать, если воспользоваться ещё и законом сохранения механической энергии. Поскольку трение отсутствует, первоначальная потенциальная энергия бруска целиком превращается в кинетическую энергию бруска и клина:

mgh

=

m(vx^2+vy^2)

2

=

MV^2

2

.

(5)

Подставляя в это уравнение сначала vy из выражения (1), а затем vx из закона сохранения импульса (3), находим

V^2

=

2gh

(M/m)^2+(1+M/m)^2tg^2+M/m

.

(6)

Рассмотрите сами получающиеся из формулы (6) выражения в предельных случаях m/M<<1 и m/M>>1 и объясните результаты.

9. Шарики на длинной нити.

На очень длинной нити подвешен шарик массы m, к которому на нити длиной l, подвешен шарик массы m, (рис. 9.1). Какую начальную скорость v в горизонтальном направлении нужно сообщить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить отклонилась до горизонтального положения?

Рис. 9.1. Начальное положение нити с шариками

Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остаётся вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы - сила натяжения верхней нити и силы тяжести, действующие на шарики, - направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая vг скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде

mv

=

(m+m)

v

г

.

(1)

Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через vв запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:

mv^2

2

=

(m+m)vг^2

2

+

mvв^2

2

+

mgl

.

(2)

Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости v соответствует случаю, когда вертикальная составляющая vв в интересующий нас момент обращается в нуль: vв=0. Подставляя в (2)

v

г

=

vm

m+m

из (1), получаем

v

0min

=

2gl(1+m/m)

.

(3)

Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т.е. m<0min=2gl, очевидное и из элементарных соображений. Если же m<тогда, когда вся длинная нить отклонится до горизонтали, т.е. при v0min=2gL, где L - суммарная длина обеих нитей. Ясно, что формула (3) в этом случае неприменима, так как она получена в предположении, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной.

10. Пуля пробивает шар.

Горизонтально летящая пуля массы m насквозь пробивает первоначально покоившийся шар массы M и вылетает из него со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая доля кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию?

Обозначим скорость пули до столкновения с шаром через v, а приобретаемую шаром скорость через V. По условию скорость пули на вылете из шара равна v/2, поэтому уравнение закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление принимает вид

mv

=

MV

+

mv

2

.

(1)

Из этого уравнения сразу можно получить приобретаемую шаром скорость V:

V

=

mv

2M

.

Приращение внутренней энергии, т.е. выделяющееся при неупругом взаимодействии пули с шаром количество теплоты Q, можно найти с помощью закона сохранения энергии:

mv^2

2

=

MV

2

+

m(v/2)^2

2

+

Q

.

(3)

Подставляя сюда V из (2), находим

Q

=

mv^2

2

3

–

m

M

.

(4)

Так как начальная кинетическая энергия пули E=mv^2/2, то для искомого отношения Q/E из (4) получаем

Q

E

=

1

4

3

–