Шрифт:
N
=
mg
1
cos
–
cos
.
Это выражение неотрицательно при любых от 0 до /2, которые только и представляют интерес. Скорость в точке A связана с искомой начальной высотой h соотношением (5), в котором, разумеется, угол следует заменить на :
v^2
=
2gR
h
R
– 1-
cos
.
(13)
Приравнивая правые части выражений (12) и (13), находим
h
=
R
1+
cos
+
1
2 cos
.
(14)
Эта формула даёт то значение начальной высоты h, при котором тело преодолеет мёртвую петлю с вырезом именно так, как нужно, - покинув жёлоб в точке A, вновь коснётся его как раз в точке B. Касание желоба в точке B произойдёт без удара, так как скорость тела при движении по параболе в этой точке будет направлена по касательной к жёлобу.
Если начальная высота будет меньше, чем значение, даваемое формулой (14), то, даже если тело дойдёт по жёлобу до точки A, дальше оно полетит по параболе 2 на рис. 13.4 и ударится о жёлоб ниже точки B. Если же начальная высота будет больше, чем нужно, то тело вообще вылетит из желоба через разрез, двигаясь по параболе 3.
Исследуем зависимость необходимой начальной высоты h от угла , характеризующего вырез. Как видно из формулы (14), при =0, т.е. при отсутствии выреза, h=5R/2, что совпадает с минимальной начальной высотой (9), которая требуется для преодоления замкнутой петли. С увеличением угла начальная высота убывает, достигая минимума, равного h=(1+R), при =/4. Действительно, зависящие от слагаемые в формуле (14) cos +1/(2 cos ) можно записать в виде
1
2
x
+
1
x
,
где через x обозначено 2cos . Но x+1/x имеет минимум, равный двум, при x=1, откуда и получаются приведённые значения минимальной высоты h и угла =/4. При дальнейшем увеличении угла высота h монотонно возрастает и стремится к бесконечности при ->/2 (рис. 13.5). При =/3, как легко убедиться, высота h снова равна 5R/2. Таким образом, если угол выреза меньше /3, необходимая начальная высота меньше, чем при замкнутом жёлобе.
Рис. 13.5. При 0<</3 начальная высота h почти не зависит от угла
Интересно отметить, что высшая точка траектории 1 в разрезе желоба (рис. 13.4) при любых углах лежит выше продолжения окружности. Действительно, максимальная высота подъёма тела после отрыва в точке A равна
v^2 sin^2
2g
,
что после подстановки v^2 из (12) даёт
R sin^2
2 cos
.
Поэтому высота этой точки траектории над центром окружности O, как видно из рис. 13.4, равна
H
=
R cos
+
R
2
sin^2
cos
=
R
2
cos
+
1
cos
.
Это выражение больше R при любых от 0 до /2.
14. Связанные шарики.
Рис. 14.1. Одинаковые шарики связаны нерастяжимой нитью
Два одинаковых маленьких шарика, связанных нерастяжимой невесомой нитью длины l (рис. 14.1), лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Одному из шариков сообщают скорость v, направленную вертикально вверх. Какой должна быть начальная скорость для того, чтобы нить всё время оставалась натянутой, а нижний шарик не отрывался от горизонтальной поверхности? Трением шарика о поверхность пренебречь. При исследовании условия отрыва нижнего шарика силу натяжения нити считать максимальной при вертикальном положении нити.
Предположим, что начальная скорость v такова, что эти условия выполнены, т.е. при движении шариков нить всё время остаётся натянутой, а нижний шарик не отрывается от поверхности. По каким траекториям тогда движутся шарики? Ясно, что нижний шарик движется прямолинейно, а верхний описывает некоторую кривую (рис. 14.2). Чтобы выяснить, что это за кривая, воспользуемся тем, что при вертикальной начальной скорости центр масс шариков в отсутствие трения нижнего шарика о поверхность стола может двигаться только по вертикали.
Рис. 14.2. Верхний шарик движется по эллипсу с полуосями l/2 и l
Введём систему координат так, что ось x направлена горизонтально вдоль нити, соединяющей шарики, а ось y - вертикально и проходит через центр масс шариков. При таком выборе осей нижний шарик будет двигаться вдоль оси x, центр масс C - вдоль оси y, а верхний шарик - по кривой, лежащей в плоскости x,y. Непосредственно из рис. 14.2 видно, что координаты верхнего шарика x и y можно выразить через угол , образуемый натянутой нитью с горизонтом: