Шрифт:
v^2
=
g
2h
ab
+
h^2
(a+b)^2
ab
=
g
2h
(a^2+4h^2)
– >
2gh
.
7. Простреливаемая область.
Зенитное орудие может сообщить снаряду начальную скорость v в любом направлении. Требуется найти зону поражения, т.е. границу, отделяющую цели, до которых снаряд из данного орудия может долететь, от недостижимых целей. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Попробуем сначала выяснить, что можно сказать об этой границе, не решая задачи. Сам факт существования такой границы сомнений не вызывает, так что поставленный в задаче вопрос имеет смысл (кстати, начиная решать задачу, никогда не вредно подумать об этом). Попытаемся представить себе искомую границу. Очевидно, что она представляет собой некоторую поверхность. Если цель находится точно над орудием, то стрелять нужно вертикально вверх. Снаряд при этом поднимается на высоту h=v^2/2g после чего начинает падать вниз, так что граница достижимых целей пересекает вертикаль в точке, находящейся на высоте h.
Рис. 7.1. Граница простреливаемой области
Если ограничиться целями, находящимися на горизонтальной плоскости, то очевидно, что граница представляет собой окружность, радиус которой равен максимальной дальности полёта снаряда по горизонтали s=v^2/g (напомним, что максимальная дальность полёта по горизонтали достигается при угле возвышения ствола орудия =/4). Эта окружность есть пересечение искомой поверхности с горизонтальной плоскостью (рис. 7.1). Вообще из симметрии можно сделать вывод, что искомая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой вокруг вертикали, проходящей через орудие, и задача сводится к нахождению этой кривой. Отметим, что кривая есть огибающая всех возможных траекторий (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Граница является огибающей для траекторий
Приступим к решению задачи. Выберем систему координат: орудие расположим в начале координат, ось x направим горизонтально, ось y - вертикально. Тогда зависимость координат снаряда от времени имеет вид
x(t)
=
v
cos ·t
,
y(t)
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
Исключив из этих уравнений t получим уравнение траектории снаряда y=f(x):
y
=
x tg
–
gx^2
2v^2
(1+tg^2)
.
(1)
Это уравнение параболы. Коэффициенты при x и x^2 зависят от угла , т.е. при разных направлениях начальной скорости получаются различные траектории. Таким образом, данное уравнение описывает семейство траекторий при одних и тех же по модулю, но различных по направлению начальных скоростях v.
Но этому же уравнению можно придать и другой смысл. Будем теперь рассматривать x и y как координаты определённой цели, в которую попадает снаряд, двигаясь по некоторой траектории. Тогда при заданных координатах цели x и y уравнение (1) определяет угол, под которым нужно выпустить снаряд с начальной скоростью v для того, чтобы он попал в эту цель. Решая это квадратное относительно tg уравнение, находим
tg
=
1
gx
v^2
±
v-g(gx^2+2v^2y)
.
(2)
Если уравнение имеет вещественное решение, т.е. дискриминант неотрицателен:
v-g(gx^2+2v^2y)
>=
0,
(3)
то в цель попасть можно. Если вещественных решений нет, т.е.
v-g(gx^2+2v^2y)
<
0,
то в цель попасть нельзя. Это значит, что цель находится за пределами искомой границы. Координаты цели, расположенной на границе, должны удовлетворять соотношению v-g(gx^2+2v^2y)=0. Выражая отсюда y как функцию x, получаем уравнение границы в явном виде:
y
=
v^2
2g
–
gx^2
2v^2
.
(4)
Это уравнение параболы с вершиной при x=0, y=v^2/2g. Коэффициент при x^2 отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках x±v^2/g. (рис.7.2). Итак, полученная граница действительно проходит через точки, которые вначале были нами установлены из элементарных соображений.
Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси y.