,

a

x

(t)

=-

^2A

sin t

.

(5)

Минимальная амплитуда, при которой монета будет скользить по подставке, находится из условия

^2A

min

=

g

,

откуда

A

min

=

g

^2

.

(6)

Естественно, что эта амплитуда тем меньше, чем меньше коэффициент трения.

Отметим, что в задачах подобного рода представляет интерес не только выяснение условий, при которых монета отрывается от подставки или смещается относительно неё, но и исследование характера дальнейшего движения монеты как при вертикальных, так и при горизонтальных колебаниях подставки. Это даже более интересная, но и вместе с тем более трудная задача.

2. Движение монеты на вибрирующей подставке

Как выглядит график скорости монеты, лежащей на подставке, которая совершает горизонтальные гармонические колебания с частотой и амплитудой A?

Как было выяснено в предыдущей задаче, при выполнении условия ^2A<=g монета будет двигаться вместе с подставкой. При этом график скорости монеты совпадает с графиком скорости подставки и представляет собой косинусоиду vx(t)=A cos t, показанную на рис. 2.1б. Поэтому интересен только противоположный случай ^2A>g, когда монета смещается относительно подставки.

Рис. 2.1. На интервалах t, t и t, t монета движется вместе с подставкой

На рис. 2.1а приведён график ускорения подставки ax(t)=A sin t, на котором указаны области, где модуль этого ускорения не превосходит значения g, т.е. максимального ускорения, которое сила трения может сообщить монете. Именно в эти интервалы времени (интервалы «захвата») монета могла бы двигаться вместе с подставкой.

Пусть до момента t (рис. 2.1) монета движется вместе с подставкой. В момент t происходит «срыв» монеты, и трение покоя заменяется трением скольжения. Так как сила трения скольжения постоянна, то дальнейшее движение монеты в инерциальной системе отсчёта (т.е. в лабораторной системе отсчёта, а не относительно подставки) происходит с постоянным ускорением. Поэтому график скорости монеты, начиная с момента t представляет собой прямую линию, наклон которой определяется силой трения скольжения. Если считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя, то данная прямая касается синусоиды в момент «срыва» t.

Характер дальнейшего движения монеты зависит от того, в какой момент времени её скорость снова станет равной скорости подставки. Если это случится в пределах интервала «захвата», например в момент t (рис. 2.1), то в течение промежутка от t до границы интервала «захвата» t монета движется вместе с подставкой. В момент t снова происходит «срыв», и дальнейшее движение опять происходит с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону. В момент t скорости монеты и подставки опять сравниваются, и они движутся вместе до очередного «срыва», происходящего в момент t. Дальше всё повторяется сначала. Таким образом, график скорости монеты представляет собой «пилу», состоящую из отрезков синусоид и прямых линий (рис. 2.1б).

Рис. 2.2. Монета всё время проскальзывает относительно подставки

Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2.2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты ±g, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т.е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т.е. максимальное значение скорости монеты vmax, равно произведению наклона g на четверть периода колебаний подставки:

v

max

=

gT

4

=

g

2

.

Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра ^2A/g Как мы видели, при ^2A/g<1 монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр ^2A/g не достигнет значения 1+^2/4. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета всё время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда произведение наклона прямой g на половину периода T/2 равно удвоенному значению скорости подставки в момент срыва:

g

=

2A

cos t

.

Подставляя сюда

cos t

=

1-sin^2t

=

1-(g/^2A)^2

находим предельное значение интересующего нас параметра:

^2A

g

=

1+^2/4

.

Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний A, либо при уменьшении коэффициента трения .