Шрифт:
Изучение процессов, происходящих в рассматриваемом контуре, естественно начать с составления уравнения для тока в такой цепи. Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому сила тока во всех её участках в данный момент времени одинакова, а сумма напряжений на всех элементах равна ЭДС. Так как по условию внутреннее сопротивление источника тока равно нулю, то
U
L
+
U
C
=
E
,
(1)
где UC– напряжение на конденсаторе, UL– напряжение на катушке индуктивности.
Напряжение на конденсаторе UC связано с зарядом q его верхней пластины и его ёмкостью C соотношением UC=q/C. Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому UL=L dI/dt. Ток в цепи I, как видно из рис. 5.1, равен скорости изменения заряда верхней пластины конденсатора: I=dq/dt Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, перепишем уравнение (1):
Lq
+
q
C
=
E
.
(2)
Вводя обозначение ^2=1/LC, запишем уравнение (2) в виде
q
+
^2q
=
E
L
.
(3)
Это уравнение отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний с частотой только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина E/L. Его можно привести к уравнению гармонических колебаний, если сделать простую замену
q
=
Q
+
E
L^2
.
(4)
Так как q=Q, то в результате такой замены правая часть в уравнении (3) пропадает, и оно принимает вид
Q
+
^2Q
=
0.
(5)
Видно, что это действительно уравнение свободных гармонических колебаний с частотой , но только теперь величиной, совершающей синусоидальные колебания, является не заряд пластины q, а введённая соотношением (4) величина Q:
Q(t)
=
Q
cos (t+)
.
(6)
Постоянные Q и должны определяться из начальных условий.
Теперь легко написать выражение для интересующей нас величины q(t). Учитывая, что второе слагаемое в правой части соотношения (4) равно CE. для заряда конденсатора q(t) с помощью (6) получаем
q(t)
=
Q
cos (t+)
+
CE
.
(7)
По условию задачи в начальный момент времени t=0 конденсатор не заряжен, а ключ разомкнут, т.е. тока в цепи нет. Поэтому соответствующие рассматриваемой задаче начальные условия имеют вид
q(0)
=
0
,
I(0)
=
0
.
(8)
Чтобы выбрать постоянные Q и , удовлетворяющие начальным условиям (8), нужно сначала найти с помощью (7) выражение для тока в цепи I:
I(t)
=
dq
dt
=-
Q
sin (t+)
.
(9)
Полагая в формулах (9) и (7) t=0 и учитывая начальные условия (8), получаем уравнения для нахождения Q и :
Q
cos
+
CE
=
0
, -
Q
sin
=
0.
(10)
Из первого соотношения (10) видно, что Q/=0. Тогда из второго соотношения следует, что sin =0, т.е. начальную фазу колебаний можно положить равной нулю. Подставляя =0 в первое соотношение (10), находим Q=-CE Итак, удовлетворяющее начальным условиям (8) решение уравнения (3) имеет вид
q(t)
=
CE
(1-cos t)
.
(11)
Очевидно, что такой же вид имеет и зависимость от времени напряжения на конденсаторе U(t)=q/C.
Рис. 5.2. Зависимость заряда конденсатора и тока в цепи от времени
Графики зависимости заряда конденсатора и тока от времени показаны на рис. 5.2. Из этого графика видно, что заряд конденсатора совершает гармоническое колебание около значения q=CE, соответствующего заряду, который имел бы конденсатор в рассматриваемой цепи (рис. 5.1) в состоянии равновесия. Колебания заряда происходят между значениями q=0 и q=2CE, так что знак заряда каждой пластины не меняется. Колебания тока, в отличие от колебаний заряда, происходят около значения I=0. Максимальное напряжение на конденсаторе равно удвоенной ЭДС источника: UCmax=2E.