Импульс частицы p связан с её скоростью v соотношением

p

=

mv

=

mv

1-v^2/c^2

.

(2)

Одним из самых замечательных выводов теории относительности является закон эквивалентности массы и энергии, выражаемый знаменитой формулой Эйнштейна

E

=

mc^2

=

mc^2

1-v^2/c^2

.

(3)

Согласно этому закону любое изменение энергии системы сопровождается пропорциональным изменением её массы. Например, разогнанная частица имеет большую массу, чем неподвижная, нагретое тело - большую массу, чем холодное, сжатая пружина - большую массу, чем несжатая. Из формулы (3) следует, что в релятивистской механике покоящееся тело обладает энергией E=mc^2, которая называется энергией покоя.

Из выражений (2) и (3) следует формула, связывающая между собой энергию и импульс релятивистской системы:

E^2

–

p^2c^2

=

m^2c

.

(4)

Обратим внимание на то, что в правой части (4) стоит величина, не зависящая от выбора системы отсчёта. Поэтому, хотя каждое из слагаемых в левой части имеет разное значение в различных инерциальных системах отсчёта, вся левая часть не зависит от выбора системы отсчёта, т.е. представляет собой релятивистский инвариант. Для ультрарелятивистских частиц, т.е. таких, у которых энергия E много больше энергии покоя mc^2, соотношение (4) можно приближённо переписать в виде E=pc.

Если при описании релятивистских явлений в законах физики появляется универсальная постоянная c=2,998·10^1 см/с 1), которая представляет собой максимальную скорость распространения взаимодействий - скорость света в вакууме, то при описании явлений микромира появляется ещё одна фундаментальная константа h - постоянная Планка. Её значение равно 6,62·10– 27 эрг·с.

1) В этом разделе используется система единиц СГСЭ.

Наблюдаемые на опыте корпускулярные свойства света приводят к представлению о том, что электромагнитное излучение можно рассматривать как поток фотонов. Согласно квантовой теории энергия фотона пропорциональна частоте соответствующего излучения и даётся формулой Планка

E

=

h

.

(5)

Поскольку фотон не существует в состоянии покоя, то его масса покоя m равна нулю, а импульс в силу соотношений (4) и (5) даётся выражением

p

=

h

c

.

(6)

Фундаментальным законом физики микромира являются соотношения неопределённостей Гейзенберга, которые связывают между собой неопределённости в значениях какой-либо координаты частицы x и соответствующей проекции импульса px в один и тот же момент времени:

x

·

p

x

h

.

(7)

Невозможность приписать микрочастице одновременно точные значения координаты и соответствующей проекции импульса связана с проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы микрообъектов. Волновые свойства микрообъектов характеризуются так называемой длиной волны де-Бройля , которая обратно пропорциональна импульсу частицы:

=

h

p

.

(8)

Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что любая частица - фотон, электрон, протон, атом и т.д. - обладает потенциальной возможностью проявлять и корпускулярные, и волновые свойства, но ни в одном явлении они никогда не проявляются одновременно.

1. Принцип относительности.

Шарик массы m на нити длиной l висит неподвижно в однородном поле тяжести напряжённости g. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v (рис. 1.1). Как при этом будет двигаться шарик?

Рис. 1.1. В некоторый момент точка подвеса приводится в движение с постоянной скоростью v

Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.

Подсказкой к нахождению пути решения этой задачи может послужить то обстоятельство, что она помещена в разделе «Релятивистская и квантовая физика». То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остаётся выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причём в своей классической форме, сформулированный ещё Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.

Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчёта, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчёта точка подвеса движется с постоянной скоростью v, то новая система отсчёта также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити всё время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость -v, направленная по горизонтали направо (рис. 1.2). Разумеется, и в новой системе отсчёта на шарик тоже действует поле тяготения напряжённости g.