18. Странный вольтметр.

Рис. 18.1. Проводящее кольцо на сердечнике трансформатора

На железный сердечник трансформатора (рис. 18.1) вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением R. К точкам A и B этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 длины кольца, подключён идеальный вольтметр. ЭДС индукции, наводимая в проводящем кольце, равна E. Что покажет вольтметр?

Рис. 18.2. Замкнутая цепь из одинаковых источников тока

Изменяющийся со временем магнитный поток в сердечнике порождает вихревое электрическое поле, линии напряжённости которого представляют собой окружности, симметрично охватывающие сердечник. При симметричном расположении кольца сторонние силы во всех его участках одинаковы и ЭДС индукции в любом участке кольца пропорциональна длине участка. В частности, на участке AB ЭДС индукции EAB=1/3E, а на участке BCA EBCA=2/3E Поэтому может показаться, что данная задача эквивалентна хорошо известной задаче о последовательно соединённых в замкнутую цепь одинаковых источниках тока (рис. 18.2). Легко показать, что напряжение между любыми двумя точками такой цепи равно нулю. В самом деле, применяя закон Ома для участка неоднородной цепи FD, содержащего n элементов, имеем

I

=

UFD+nE

nr

(1)

С другой стороны, применяя закон Ома ко всей замкнутой цепи из n+m элементов, получаем

I

=

(n+m)E

(n+m)r

E

r

.

(2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что UFD=0. Если к точкам F и D подключить вольтметр, его показание будет равно нулю. Даже если точки F и D соединить накоротко, в цепи ничего не изменится и ток через перемычку не пойдёт.

Казалось бы, и в рассматриваемой задаче о подключении вольтметра к точкам A и B проводящего кольца, охватывающего сердечник трансформатора, мы получим нулевое показание вольтметра, так как и здесь напряжение между любыми двумя точками кольца равно нулю. Однако если провести такое измерение, то результат опыта будет удивителен: мало того, что вольтметр покажет не нуль, но его показания ещё будут зависеть от того, как расположены провода, соединяющие вольтметр с точками A и B, относительно сердечника трансформатора (рис. 18.3).

Рис. 18.3. Два способа подключения вольтметра к точкам A и B

Дело в том, что в схеме с источниками тока (рис. 18.2) цепь самого вольтметра никакой роли не играет, тогда как в рассматриваемом случае (рис. 18.3) вольтметр с подводящими проводами образует контур, в котором также наблюдается явление электромагнитной индукции.

Как известно, показание вольтметра пропорционально протекающему через него току: когда ток через вольтметр равен Iв, показываемое им напряжение Uв равно IвRв, где Rв– внутреннее сопротивление вольтметра. Чтобы выяснить, каким будет показание вольтметра при подключении его по первому способу (рис. 18.3а), применим к замкнутому контуру, содержащему участок кольца AB, соединительные провода и вольтметр, второе правило Кирхгофа. Поскольку рассматриваемый контур не охватывает сердечника, то ЭДС индукции в нем равна нулю. В результате уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид

IR

AB

–

I

в

R

в

=

0,

(3)

где I - ток в кольце. Ток I можно считать одинаковым во всех участках кольца, так как по условию вольтметр идеальный, и, следовательно, током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь по сравнению с током в кольце. В данном случае это означает, что его сопротивление Rв много больше сопротивления R кольца. Поскольку для всего кольца справедливо

IR

=

E

,

(4)

а сопротивление RAB участка AB составляет одну треть сопротивления R кольца, то из (3) получаем

U

в

=

I

в

R

в

=

1/3

E

.

(5)

Итак, показание вольтметра действительно отлично от нуля, хотя он подключён к точкам кольца, напряжение между которыми равно нулю. Так происходит потому, что в данном случае и в подводящих проводах действуют сторонние силы. Разумеется, тот же результат (5) можно получить, рассматривая другой замкнутый контур, содержащий вольтметр с подводящими проводами и участок BCA кольца (рис. 18.3а). Такой контур охватывает сердечник, и действующая в нем ЭДС индукции равна E. Уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид

IR

BCA

+

I

в

R

в

=

E

.

(6)

Поскольку IRBCA=I·2/3R=2/3E, то из (6) снова получаем

U

в

=

I

в

R

в

=

1

/

3

E

.

(7)