Метатеоремы логики предикатов имеет смысл разделить на два класса – «положительные» (или неограничительные) и «отрицательные» (или ограничительные). Чаще других среди «положительных» метатеорем логики предикатов называются следующие.

Для логики предикатов существует независимость некоторого множества аксиом (теорема Дж. Маккинси).

Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво, то есть каждая его формула универсально общезначима.

Исчисление предикатов также синтаксически непротиворечиво, то есть нет такой формулы А, что доказуемо и А, и не – А.

Всякая общезначимая формула доказуема (теорема о полноте К. Гёделя).

Но наряду с «положительными» существует также целый ряд ограничительных теорем первопорядковой логики предикатов.

При некоторых довольно слабых условиях, налагаемых на теорию Т, свойство быть истинной формулой теории Т не выразимо в Т (теорема А. Тарского).

Далеко не очевидно содержание теоремы К. Гёделя о неполноте. Если все формулы теории Т общезначимы, то она неполна, то есть существует такая формула А, что ни А, ни не – А не доказуемы в Т.

Еще одна ограничительная формула гласит: исчисление предикатов не является синтаксически полным, то есть к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой.

Далее. Логика предикатов не является категоричной (теорема Л. Левенгейма и Т. Сколема), то есть ее модели могут быть неизоморфными.

Теорема А. Чёрча: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы логики предикатов решить вопрос, является ли она доказуемой в данной теории.

Наличие как ограничительных, так и не ограничительных теорем логики предикатов резко усложняет вопрос с оценкой ее статуса. На первый взгляд, кажется, что ограничительные теоремы являются «плохими», а не ограничительные «хорошими». Такое мнение поверхностное. Во-первых, мы вообще не в состоянии правильно оценить статус логики предикатов без указания ее ограничительных теорем. Во-вторых, ограничительные теоремы не лишены явных достоинств. Так, в прикладной логике очень часто используется неполнота синтаксиса первопорядковой логики: к логическим аксиомам присоединяются нелогические постулаты, не нарушающие синтаксическую непротиворечивость теории. Наличие неполноты синтаксиса логики обеспечивает поле возможностей для перехода от чистой логики к прикладной логике.

Главное достоинство теорем логики, причем как неограничительных, так и ограничительных, состоит в том, что они обрисовывают статус логического языка таким, каким он является: продуктивным в науке и, следовательно, во всей человеческой культуре. Мы должны (иного не дано) в полной мере осознать статус и возможности логического языка.

История логики предикатов первого порядка свидетельствует о том, что идеалы логики не могут быть заданы произвольно. Это, во-первых. Во-вторых, они должны постоянно совершенствоваться.

Наиболее тесно логика связана с семиотикой, лингвистикой, математикой и информатикой. Перечисленные четыре дисциплины непосредственно обрамляют ее. С одной стороны, возможности, заключенные в семиотике и лингвистике, трансформируются в логическое знание. С другой стороны, это знание образует предпосылку математики и информатики. В субординации наук логика – дитя семиотики и лингвистики, но родитель математики и информатики.

Достаточно часто недопонимается, что формальный характер логики – это ее не недостаток, а преимущество. Но, разумеется, нельзя требовать от логики больше того, что она дает. А дает она немало. К сожалению, не прекращаются попытки создать содержательную логику. В данном случае приходится иметь дело с явным недомыслием. Так называемая содержательная логика не может быть не чем иным, как той или иной наукой.

Существуют различные классификации логических теорий. Историю логики часто делят на два этапа: период традиционной логики и период символической, или математической, логики. Характерная особенность символической логики, которая стала энергично развиваться лишь в XX веке, состоит в представлении логического доказательства в качестве некоторого исчисления. Выдающийся вклад в развитие символической логики внесли Б. Рассел, Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, X. Рейхенбах, А. Черч, А. Марков, П. Новиков. Термин «математическая логика» двусмыслен, ибо содержит указание на математику. Но, строго говоря, математическая логика – это сугубо логическая теория. В математике она нуждается не больше, чем физика в биологии.

В соответствии с ростом научного знания, расширением классификационных схем науки возникают новые направления и виды логики. Логика научного познания – направление в логике, целью которого является применение идей, методов и аппарата современной логики к научному познанию, в том числе к познавательной деятельности в учебном процессе. В соответствии с логикой научного познания в образовательном процессе изучается логическая структура научных (учебных) дисциплин, теорий, их компонентов (определений, классификаций, понятий, законов и т. п.), устанавливаются логические связи между этими компонентами, рассматриваются вопросы о непротиворечивости и полноте теорий, о способах формирования и проверки научных гипотез. Анализируются логические аспекты знания и методов научного познания. Осуществляется объяснение, обобщение, повторение, закрепление и др.