Шрифт:
+
p
–
cos
=
0
или
cos
=
m^2+E+E–
p+p–
.
Однако E+=(m^2+p+^2)^1/^2 всегда больше, чем p+, а E– всегда больше, чем p– Значит, косинус равен величине, явно превышающей единицу, и поэтому ему не может соответствовать никакой реальный угол . Заключение: предполагаемая реакция невозможна.
Это можно доказать намного проще и изящнее, если перейти к системе центра масс предполагаемой электрон-позитронной пары. К такой системе отсчёта, где полный импульс обращается в нуль, всегда можно перейти, если в рассматриваемой физической системе хотя бы у одной частицы масса покоя отлична от нуля. Но в этой системе в момент «до» (рис. 156) импульс исходного одиночного фотона никак не может быть равен нулю: иначе была бы равна нулю и энергия фотона, так как для фотонов E=p, и этого фотона попросту бы не существовало! Значит, предполагаемая нами реакция нарушает законы сохранения.
Рис. 157. Диаграмма реально происходящей реакции: кроме фотона, в ней на начальной стадии должна участвовать заряженная частица с ненулевой массой покоя.
б) Рассуждения, проведённые в упражнении 93, показывают, что при пороговой реакции все её продукты двигаются совместно с одинаковыми скоростями (рис. 157). Законы сохранения тогда записываются в виде
E
фотон
+
m
=
3
E
и
p
=
E
фотон
=
3
p
.
Возводя в квадрат и вычитая друг из друга соответствующие части получающихся уравнений, найдём
E
фотон
^2
+
2mE
фотон
+
m^2
–
E
фотон
^2
=
=
9(
E
^2
–
p
^2
)=
9m^2
.
Отсюда следует величина пороговой энергии, равная
E
фотон
=
4m
=
4·(1/2
Мэв
)
=
2
Мэв
.
96. Фоторождение пары двумя фотонами
Рис. 158. Диаграмма реально происходящей реакции: до реакции два фотона, после реакции — электрон-позитронная пара. Показан случай порогового рождения пары, когда электрон и позитрон неподвижны относительно друг друга.
Сначала рассмотрим пороговую реакцию, после которой возникающие электрон и позитрон не разлетаются (рис. 158; см. также упражнение 93). Запишем компоненты 4-вектора энергии-импульса до и после реакции и приравняем их:
E
+
E
=
2
E
,
p
+
p
=
2
p
.
Найдём квадрат этого 4-вектора:
(Энергия)
^2
–
(Импульс)
^2
=
=
E^2
+
2EE
+
E^2
–
p^2
–
2pp
cos
–
p^2
=
=
4
E
^2
–
4
p
^2
.
Полученное уравнение упрощается, если учесть, что разность E^2-p^2 равна 0 для фотонов и m для электронов или позитронов, а также что 1-cos =2 sin^2 1/2 . В результате найдём
E
E
sin^2
2
=
m^2
.
Выполнение этого условия соответствует тому, что реакция идёт на пределе (пороговое условие). Если слева будет стоять большая величина, то это значит, что энергии, которой два фотона обладают в системе центра масс (когда их суммарный импульс равен нулю), в принципе было бы достаточно для образования пары более массивных частиц, чем электрон и позитрон. Этот избыток энергии (величины в левой части равенства) означает также, что, если на самом деле рождается пара (e, e), то её компоненты будут находиться в относительном движении и их кинетическая энергия не будет равна нулю в системе центра масс; иначе говоря, мы будем иметь дело уже с надпороговой реакцией.