Шрифт:
97. Аннигиляция электрон-позитронной пары
а) В системе центра масс перед аннигиляцией полный импульс равен нулю. Значит, он должен быть равен нулю и после аннигиляции. Однако одиночный фотон не может обладать нулевым импульсом. Поэтому, чтобы закон сохранения импульса не нарушался, должно быть испущено по крайней мере два фотона (рис. 159).
Рис. 159.
б) Запишем закон сохранения энергии:
E
+
m
=
E
+
E
или
E
^2
=
E
+
m
–
E
^2
.
Закон сохранения импульса ясен из рис. 160.
Рис. 160.
Воспользуемся законом косинусов
E
^2
=
E
^2
+
p^2
–
2p
E
cos
=
=
E
^2
+
E^2
–
m^2
–
2p
E
cos
.
Приравнивая друг другу два выражения для E^2 найдём
E^2
+
m^2
+
E
^2
+
2mE
–
2E
E
–
2m
E
=
=
E
^2
+
E^2
–
m^2
–
2p
E
cos
.
Отсюда следует выражение для E:
E
=
m(m+E)
E+m-p cos
=
m(2m+T)
2m+T-cos T^2+2mT
или, наконец, в единицах массы электрона m,
E
=
1
.
m
1
–
cos
1+2m/T
в) При заданной кинетической энергии сталкивающегося позитрона T максимальная энергия гамма-кванта реализуется при cos =1, т.е. =0, и равна
E
m
макс
=
1
1-(1+2m/T)^1/^2
.
Минимальная энергия фотона соответствует cos =-1, т.е. =, и равна
E
m
мин
=
1
1+(1+2m/T)^1/^2
.
г) При очень малых T (очень больших отношениях m/T) максимальная и минимальная энергии приближённо равны друг другу:
E
m
макс
E
m
мин
1
(малые
T
).
Каждый фотон уносит энергию, равную энергии покоя одного электрона; первоначальной кинетической энергией можно пренебречь.
При очень больших T (очень малых отношениях m/T) максимальная и минимальная энергии испущенных фотонов резко отличаются друг от друга:
E
макс
1
=
T
,
m
1
–
1
–
m
m
T
E
m
мин
1
2
(большие
T
).
В этом случае самый богатый энергией из испущенных фотонов уносит с собой кинетическую энергию сталкивающегося позитрона, которая очень велика. Минимальная энергия здесь составляет половину массы покоя электрона.
98. Проверка принципа относительности
Рис. 161.
а) Схему на рис. 122 можно представить в виде диаграммы (рис. 161). Законы сохранения записываются как
E
+
m
=
E
+
E
,
p
=
E
cos 30°
–
E
sin 30°
,
0
=
E
sin 30°
–
E
cos 30°