Шрифт:
г) Пойдём ещё дальше и покажем, что 1 м времени, прошедший по часам, покоящимся в лабораторной системе отсчёта (t=1 м), будет зарегистрирован как интервал времени больше одного метра наблюдателями в системе отсчёта ракеты согласно формуле
t'
=
t
ch
r
=
t
1-r^2
.
(45)
Каким образом этот вывод подтверждает симметрию между обеими системами отсчёта (ракеты и лаборатории), требуемую принципом относительности?
11. Относительная синхронизация часов
а) Покажите, что если два события происходят одновременно и в одном и том же месте в лабораторной системе отсчёта, они будут одновременными в системе отсчёта любой ракеты. Покажите, что если два события происходят одновременно, но не в одной и той же точке на оси x в лабораторной системе отсчёта, они не будут наблюдаться как одновременные ни в одной системе отсчёта ракеты. Тот факт, что движущиеся относительно друг друга наблюдатели не всегда будут соглашаться друг с другом, одновременны или нет два события, носит название относительности одновременности.
б) Два события происходят одновременно и имеют одно и то же значение координаты x в лабораторной системе отсчёта, но разница в значениях координат y и z для них равна y и z. Покажите, что эти два события будут одновременными и в системе отсчёта ракеты.
в) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент t=0 в лабораторной системе отсчёта часы в системе отсчёта ракеты на положительной части оси x оказываются позади лабораторных часов, а на отрицательной части оси x — впереди лабораторных часов, причём разница во времени, показываемом часами в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
t'
=-
xsh
r
=
– x
r
1-r^2
.
(46)
г) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент t'=0 в системе отсчёта ракеты часы в лабораторной системе отсчёта на положительной части оси x оказываются впереди часов ракеты, а на отрицательной части оси x — позади часов ракеты, причём разница во времени, показываемом часами в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
t'
=+
x'sh
r
=
+x'
r
1-r^2
.
(47)
Тот факт, что никто из двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга, не согласится, что время опорного события и времена, когда все часы в системе отсчёта другого наблюдателя показывают нулевой момент, одновременны, носит название относительной синхронизации часов.
д) Казалось бы, что разные знаки в законах (46) и (47) приводят к асимметрии между системами отсчёта, позволяющей провести различие между этими системами, что противоречило бы принципу относительности. Покажите, что если наблюдатель в каждой системе отсчёта ориентирует положительное направление своей оси x в направлении движения другой системы относительно него, то все физические измерения, связанные с синхронизацией часов, дадут в каждой системе совершенно тождественные результаты. Иначе говоря, системы отсчёта нельзя различить с помощью и этого метода. Разница в знаках в приведённых выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей x положительного направления.
е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизированность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чём ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя на ракете. Как выразить полученные выше выводы безупречно корректно, чётко и ясно (хотя бы это оказалось значительно длиннее!)?
12. Эвклидовы аналогии
а) Пусть в плоскости xy эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости xy; постройте проекции стержня на оси x, y и x', y'. Разберите аналогию между различием в значениях x-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.
б) Разберите аналогию между замедлением времени и изменением длины y-компоненты стержня при переходе между повёрнутыми друг относительно друга эвклидовыми системами координат [см. часть (а)]. Назовите инварианты геометрии Эвклида и геометрии Лоренца.