Шрифт:
а) Чему равно расстояние в пространстве между этими событиями в системе отсчёта ракеты, если промежуток времени между событиями равен в ней 5 сек?
б) Чему равна скорость r ракеты относительно лабораторной системы отсчёта?
Решение
а) Интервал пространства времени между этими двумя событиями имеет одну и ту же величину в обеих системах отсчёта:
(
t)^2
–
(
x)^2
=
(
t')^2
–
(
x')^2
.
Запишем содержание задачи так:
x = 0,
t = 3(сек) x c (м/сек) = 9·10 м,
x' требуется определить,
t' = 5(сек) x c (м/сек) = 15·10 м,
Подставим эти данные в выражения для интервала:
81·10^1
–
0
=
225·10^1
–
(
x')^2
.
Решаем полученное уравнение:
(
x')^2
=
144·10^1
м
^2
,
или
x'
=
12·10
м
.
б) В лабораторной системе отсчёта оба события произошли в одном и том же месте. В системе отсчёта ракеты это «место» лаборатории сдвинулось на 12·10 м за 5 сек (или за 15·10 м светового времени). Поэтому относительная скорость двух систем отсчёта равна
x'
t'
=
12·10
15·10
=
4
5
.
2. Практическая синхронизация часов
Вы — наблюдатель, находящийся в покое вблизи часов с пространственными координатами x=6 м, y=8 м, z=0 м в лабораторной системе отсчёта. Вы хотите синхронизировать свои часы с часами, находящимися в начале координат, используя опорный сигнал. Подробно опишите количественно, как вы сделаете это.
3. Соотношения между событиями
Рис. 34. Как связаны между собой события A, B и C?
На рис. 34 изображены на диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта события A, B и C. Ответьте на следующие вопросы, касающиеся пары событий A и B:
а) Какой интервал лежит между этими событиями — временноподобный, светоподобный или пространственноподобный?
б) Чему равно собственное время (или собственное расстояние) между этими событиями?
в) Могло ли одно из этих событий быть причиной другого?
Ответьте на такие же вопросы о паре событий A и C.
Ответьте на такие же вопросы о паре событий C и B.
4. Одновременность
«A сталкивается с B; одновременно на расстоянии миллиона миль от них C сталкивается с D». Выразите одной или двумя фразами, как требует частная теория относительности переформулировать или охарактеризовать это утверждение.
5. Временно'й порядок событий
«Событие G произошло до события H». Покажите, что порядок во времени этих двух событий в лабораторной системе отсчёта будет тем же, что и в системе отсчёта ракеты, тогда и только тогда, когда события будут разделены временноподобным или светоподобным интервалом.
6*. Расширяющаяся Вселенная
а) Гигантская бомба разрывается в окружающем её пустом пространстве. По какому закону будут двигаться друг относительно друга её осколки? Как может быть обнаружено их относительное движение? Обсуждение: Представим себе, что каждый осколок снабжён источником света, посылающим сигналы через известные равные друг другу промежутки времени в его системе отсчёта (собственное время!). Зная эти интервалы между вспышками, каким путём может наблюдатель определить на одном осколке относительную скорость движения любого другого осколка? Предположим, что он может при этом пользоваться: 1) известным значением интервала собственного времени между вспышками и 2) измеряемым им временем tприём между приходом к нему последовательных сигналов. (Замечание. Последнее не равно промежутку времени t между последовательными вспышками на удаляющемся передатчике в системе отсчёта этого наблюдателя. См. рис. 35). Предлагается выразить через и tприём. Как будет зависеть измеряемая скорость удаления от расстояния между осколком, на котором находится наблюдатель, и другим осколком? (Замечание. В каждый данный момент в каждой данной системе отсчёта осколки, очевидно, улетят от места взрыва на расстояния, прямо пропорциональные их скоростям в этой системе отсчёта!)
Рис. 35. Вычисление времени tприём, прошедшего между поступлением двух последовательных сигналов от удаляющегося излучателя к наблюдателю.
б) Как можно заключить по наблюдению света, испускаемого звёздами, что Вселенная расширяется? Обсуждение: В раскалённых звёздах атомы испускают свет различных характерных для этих атомов частот («спектральные линии»). Мы можем измерять на Земле наблюдаемый период колебаний для каждой спектральной линии приходящего от звёзд света. По расположению этих спектральных линий мы можем установить, с излучением какого элемента мы имеем дело. Атомы этого же элемента можно возбуждать в лабораторных условиях, где они в состоянии покоя излучают свет, спектральные линии которого характеризуются собственным периодом, и мы можем его измерить. Используйте теперь результаты части (а) этого упражнения и опишите, как сравнение наблюдаемого периода колебаний для спектральных линий приходящего от звёзд света с собственным периодом колебаний для спектральных линий света, излучаемого покоящимися атомами в лаборатории, даёт величину скорости удаления звёзд, излучающих свет. Это наблюдаемое изменение периода, обусловленное движением источника, называется допплеровским смещением (эффектом Допплера). (Более подробное описание его см. в упражнении 75 гл. 2 и последующих упражнениях). Если началом Вселенной был гигантский взрыв, как должны быть связаны друг с другом наблюдаемые скорости разбегания различных звёзд, находящихся на разных расстояниях? Здесь следует пренебречь замедлением скоростей за время разбегания (под действием гравитационного притяжения и пр.), однако мы рассмотрим такое замедление при более полном анализе (упражнение 80).