в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых систем координат, когда точки на положительной части оси x в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты y в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от начала координат).

13. Лоренцево сокращение. II

Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, направлен вдоль оси x'. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что стержень претерпел лоренцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умножит его на величину относительной скорости движения систем.

14. Замедление хода часов. II

Два события происходят в одном и том же месте, но в разные моменты времени в системе отсчёта ракеты. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времени между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его на величину относительной скорости движения систем.

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

Пусть время измеряется в секундах (пометим это индексом: tсек), а vr — относительная скорость лабораторной системы отсчёта и системы ракеты, выраженная в м/сек. Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид

x'

=

x ch

r

–

ct

сек

sh

r

=

x-vrtсек

1-(vr^2/c^2)

,

t

сек

–

v

r

x

t

сек

'

=-

t

sh

r

+

t

сек

ch

r

=

c^2

,

c

1-(v

r

^2/c^2)

(48)

где

vr

c

=

th

r

.

Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца.

16*. Вывод формул преобразования Лоренца

Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим Эйнштейну) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью r в направлении оси x в лабораторной системе отсчёта. Координаты x', y', z', t' произвольного события (например, взрыва) в системе отсчёта ракеты взаимно однозначно связаны с координатами x, y, z, t этого же события, измеренными в лабораторной системе. При этом y=y' и z=z' (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах). Что же касается связи между x, t и x', t' то предположим существование линейной зависимости

x

=

ax'

+

bt'

,

t

=

ex'

+

ft'

.

Здесь четвёрка коэффициентов a, b, e и f 1) неизвестна, 2) не зависит ни от x, t, ни от x', t' 3) зависит лишь от относительной скорости r движения этих двух систем отсчёта.

Найдите отношения b/a, e/a, f/a как функции скорости r, исходя лишь из следующих трёх предположений: 1) световая вспышка, происшедшая в x=0, t=0 (x'=0, t'=0) распространяется вправо со скоростью света в обеих системах отсчёта (x=t, x'=t') 2) световая вспышка, происшедшая в x=0, t=0 (x'=0, t'=0), распространяется влево со скоростью света в обеих системах отсчёта (x=-t, x'=-t') 3) точка x'=0 обладает в лабораторной системе отсчёта скоростью r.

Теперь используйте четвёртое предположение — инвариантность интервала (разд. 5): 4) t^2-x^2=(t')^2-(x')^2 и найдите с его помощью величину постоянной a, а тем самым значения всех 4 коэффициентов a, b, e и f. Согласуются ли полученные таким путём результаты с лоренцевыми значениями коэффициентов преобразования?

17*. Собственная длина и собственное время

а) Пусть два события P и Q разделены пространственноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли одновременно. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию а между ними. (Один из путей: предположим, что такая система отсчёта действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (r<1), что и оправдывает сделанное предположение).

б) Пусть два события P и R разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времени между ними.

18*. Плоскость обоюдного согласия

В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения этой плоскости в лабораторной системе отсчёта равна th (r/2), где r — параметр относительной скорости лабораторной системы отсчёта и системы ракеты.