t'

=-

x sh

r

+

t ch

r

,

t'

=-

L sh

r

=-

Lr

1-r^2

.

Знак «минус» показывает, что наблюдатель B, находящийся на положительной части оси x', отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель A.

24. Загадка Эйнштейна

Когда Эйнштейн был ребёнком, он ломал голову над такой загадкой: пусть бегун смотрит на себя в зеркало, которое он держит перед собой в вытянутой руке; если он бежит почти со скоростью света, сможет ли он увидеть себя в зеркале? Разберите этот вопрос в рамках теории относительности.

25*. Парадокс шеста и сарая

Взволнованный студент пишет: «Теория относительности — наверняка недоразумение. Возьмём шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе отсчёта он оказался длиной всего 10 м. Тогда в некоторый момент этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м (рис. 40). Но рассмотрите то же самое в системе отсчёта бегуна с шестом. Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Как же можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?! Разве этот невероятный вывод не доказывает, что в основе теории относительности где-то есть противоречие?»

Рис. 40. Бегун быстро мчится с «20-метровым шестом», помещающимся в «10-метровом сарае». В следующее мгновенье он выскочит в заднюю дверь, сделанную из бумаги.

Напишите ответ взволнованному студенту, ясно и подробно объяснив в нем, как шест и сарай должны без противоречий рассматриваться в теории относительности. (Развенчайте парадокс, начертив две. диаграммы пространства-времени, соблюдая масштабы, одну на «плоскости» xt, а другую — на «плоскости» x't'. Примите, что в начале координат обеих диаграмм «событие» Q совпадает с A. На обеих диаграммах проведите мировые линии точек A, B, P и Q. Следите за соблюдением масштабов! На обеих диаграммах пометьте время (в метрах) совпадения Q и B, P и B. Для определения этого времени воспользуйтесь формулами преобразования Лоренца или иными методами).

26*. Война в космосе

Рис. 41. Два ракетных корабля пролетают мимо друг друга с огромными скоростями.

Две ракеты, обладающие равными длинами покоя, проходят мимо друг друга с релятивистским скоростями на встречных курсах. Наблюдатель O располагает в хвостовой части своей ракеты орудием, ствол которого направлен поперёк относительного движения ракет. В тот момент, когда точка a и a' поравнялись друг с другом, она стреляет из своего орудия (рис. 42). В системе отсчёта O лоренцеву сокращению подвергается пролетающая мимо ракета, так что наблюдатель O ожидает, что его снаряд не попадает в неё. Но в системе отсчёта другого наблюдателя O' лоренцевски сокращённой представляется ракета O. Поэтому в тот момент, когда точки a и a' поравнялись друг с другом, наблюдатель O' отмечает картину (рис. 43). Попадает ли на самом деле снаряд в ракету или пролетит мимо? Дайте подробный ответ, укажите некорректности в постановке задачи и ошибку в одной из диаграмм.

Рис. 42. Наблюдатель в системе O ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки a и a' совпадали, не попадёт в другой корабль.

Рис. 43. Наблюдатель в системе O' ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки a и a' совпадали, попадёт в другой корабль.

27*. Парадокс часов 1)

1) Ряд статей, в которых разбирается парадокс часов, вместе с упоминаниями о многих других публикациях см. в сборнике Special Relativity Theory, Selected Reprints, published for the American Association of Physics Teachers by the American Institute of Physics, 335 East 45th Street, New York 17, New York, 1963. [Парадокс часов часто называют «парадоксом близнецов».— Прим. перев.]

(Первый вариант: см. также упражнения 49, 51 и 81).

Близнецы Пётр и Павел расстались в тот день, когда им исполнилось по 21 году. Пётр отправился в направлении оси x на 7 лет своего времени (2,2·10 сек, или 6,6·10^1 м времени) со скоростью 24/25 = 0,96 скорости света, после чего сменил скорость на обратную и за 7 лет вернулся назад, тогда как Павел оставался на Земле, а) В каком возрасте вернулся Пётр? б) Начертите диаграмму пространства-времени, изображающую движение Петра. Укажите на ней x- и t-координаты точек поворота и встречи. Для простоты прибегните к идеализации, приняв Землю за инерциальную систему отсчёта, к которой и приурочьте вашу диаграмму, выбрав за начало координат событие отлёта Петра, в) Сколько лет было Павлу в момент встречи?

28*. Предметы, движущиеся быстрее света 2)

2) См. Milton A. Rothman, Things that go Faster than Light, Scientific American, 203, 142 (July, 1960).

Формулы преобразования Лоренца теряют смысл, если принять величину относительной скорости движения двух систем отсчёта больше скорости света. Считается, что вследствие этого масса, энергия и информация (сообщения) не могут передаваться от точки к точке быстрее света. Проверьте этот вывод на следующих примерах.

Рис. 44. Может ли точка пересечения A двигаться со скоростью, превышающей скорость света?

а) Парадокс ножниц. Очень длинный прямой стержень, наклонённый под углом к оси x, движется вниз с постоянной скоростью (рис. 44). Найдите скорость A, с которой движется точка пересечения A нижней грани стержня и оси x. Может ли эта скорость превзойти скорость света? Можно ли использовать движение точки A для передачи сообщения из начала координат наблюдателю, расположенному далеко на оси x?