Шрифт:
m
dx
d
+
m
dx
d
=
0.
Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:
m
m
=
(-dx/d)
(dx/d)
=
=
– x
(t)^2-(x)^2
x
(t)^2-(x)^2
x
.
(75)
Здесь x и x — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а t и t — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид
m
m
=-
=
– x/t
x/t
ньютоновский
предел
.
(76)
Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.
12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) A в пространстве-времени в соседнюю мировую точку B. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий A и B 1). Компоненты этого 4-вектора (смещения dx, dy, dz и dt) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора AB, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий A и B, а значит, и положение 4-вектора AB в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.
1) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора:
4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).
3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).
Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.
Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса
Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения AB не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:
1) Берётся 4-вектор смещения AB с компонентами
dt
,
dx
,
dy
,
dz
(см. рис. 87).
Рис. 87. 4-вектор перемещения AB, соединяющий события A и B на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда y- и z- компоненты перемещения dy и dz одновременно равны нулю.
2) С помощью 4-вектора AB строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени
d
=
(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2
,
взятый между мировыми точками A и B компоненты этого касательного вектора
dt
d
,
dx
d
,
dy
d
,
dz
d
изображены на рис. 88.
Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения AB (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени d. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны