Шрифт:
Аналогичным образом траектория частицы, которая движется в пространстве сквозь время, является отображением какого-то промежутка на это пространство.
Что примечательно, понятие длины кривой можно определить при помощи отображения пространства всех кривых (скажем, между двумя конкретными точками) на множество неотрицательных чисел, в котором каждой из них соответствует длина L.
Нужно признать, довольно сложно изобразить «пространство всех кривых между двумя конкретными точками». Обычно рисуют несколько показательных примеров в надежде, что всю остальную работу возьмет на себя воображение.
Точка, линия и плоскость — это пространство с нулем, одним и двумя измерениями соответственно: по одному измерению на каждую единицу данных, необходимых, чтобы определить положение в пространстве. Поэтому пространство всех кривых будет иметь бесконечно много измерений, ведь каждая кривая проходит через бесконечное число промежуточных точек. Конечно, все это несколько усложняет математику, необходимые для работы инструменты. Однако примечательно, что многое из того, чем мы обычно пользуемся, работает в бесконечномерных пространствах без особых изменений.
Например, существует вариационное исчисление — вариант дифференциального исчисления, приспособленный для бесконечномерных пространств. Это довольно забавная штука, но мы не будем туда погружаться. Жизнь коротка, а нас впереди ждет еще столько всего интересного. Я говорю о нем лишь затем, чтобы подчеркнуть его важность для «нахождения кривой минимальной длины».
Возьмем обычную функцию одной переменной, f(x). Производная df/dx показывает наклон графика этой функции в каждой из точек. Но просто взглянув на график, мы можем заметить важное свойство: везде, где функция имеет локальный максимум (вершина холма) или минимум (дно долины), производная равна нулю.
Именно это свойство и есть главный секрет того, как математики ищут минимальные длины или другие параметры. Вернемся ко множеству всех возможных кривых. На нем можно определить функцию, которая будет отображать каждую из кривых на определенное число — ее длину. Найдем производную этой функции, учтя все возможные способы бесконечно малой деформации кривой. И там, где функция имеет минимальное значение, производная будет равна нулю. Это позволит нам перейти от словосочетания «кратчайший путь» к набору математических формул, показывающих, где «производная функции длины в пространстве путей становится равной нулю».
Наименьшее действие
Но в данный момент нам интересна не длина кривой. Если подбросить камень, он полетит по какой-то определенной траектории, которая, очевидно, не будет прямолинейной, то есть кратчайшим путем. Так происходит потому, что на этом пути к минимуму сводится не расстояние, а действие. Давайте посмотрим, что это значит.
В каждой точке траектории движущаяся частица имеет положение x и скорость v, то есть соответственно кинетическую энергию
Лагранжиан = Кинетическая энергия — Потенциальная энергия,
(3.14)
Действие S для любой траектории [x(t), v(t)] равно интегралу лагранжиана по времени:
(3.15)
В каждой точке траектории, то есть в каждый момент времени, лагранжиан имеет некоторое числовое значение. Но действие не зависит от того, в какой точке пути мы находимся: оно зависит от траектории в целом. Между начальной и конечной точкой частица будет двигаться по пути, который требует минимального действия среди всех траекторий, которые можно проложить между этими точками. Такую формулировку классической механики часто называют механикой Лагранжа, поскольку лагранжиан является в ней центральной величиной. Действие — это интеграл лагранжиана по времени, а реальные физические перемещения всегда таковы, что действие сводится к минимуму.
Рассмотрим принцип наименьшего действия на примере шара (частицы) на холме. В момент времени t1 шар находится в точке x1, в момент t2 — в точке x2.
Как будет действовать человек, который застрял в парадигме Лапласа? Найдет ускорение с помощью F = ma, а затем будет его интегрировать. Но это неверно. Нам неизвестна скорость шара в точке x1, и мы не можем принять ее равной нулю, так как иначе он может не достичь точки x2 в указанное время. Мы также не можем считать, что точка x2 является точкой поворота: известно лишь, что шар находится там в момент t2. Тем не менее мы знаем достаточно, чтобы понять, как движется шар между этими точками. Быть может, из точки x1 он покатится по холму вверх, а затем развернется и устремится к точке x2. В любом случае действие на его траектории будет наименьшим, а в конечный момент времени он достигнет конечной точки, имея нужную для этого скорость.
Что значит наименьшее действие? Действие — это интеграл от лагранжиана, разности между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия не может быть отрицательной, а значит, она должна быть как можно меньше. Однако она не может быть нулевой, поскольку неподвижный шар никогда не достигнет конечной точки. Шар должен двигаться достаточно быстро, чтобы пройти нужное расстояние за нужное время, но не более того.
Кажется, что свести к минимуму «отрицательный потенциал» несложно. Найти точку с очень большим значением V(x), и тогда — V(x) будет иметь очень малое значение (в этой задаче мы будем считать отрицательные числа малыми). Но здесь возникает противоречие с предыдущим абзацем. Если из точки x1 шар сначала движется в точку с большим потенциалом, чтобы вовремя успеть к точке x2, придется развить большую скорость, а это требует большой кинетической энергии. Мы же стремимся свести ее к минимуму.