Шрифт:
В идеальном мире без трения шар станет бесконечно курсировать от одной точки поворота до другой. Не нужно думать, что рано или поздно он остановится у подножия холма, как подсказывает интуиция. Ее подсказка будет верна в реальном мире, где трение есть. Но если шар не теряет энергию, он обречен совершать колебания до скончания веков.
Простой гармонический осциллятор
Сферическая корова сферической корове рознь. Любимая сферическая корова всех физиков — самая важная, простая и четко разрешаемая физическая система с огромной областью применения: простой гармонический осциллятор.
Продолжим катать шар по холму без трения, но теперь возьмем холм весьма специфической формы. Если конкретно, рассмотрим параболическую долину с минимумом в точке x = 0. При этом потенциальная энергия будет равна:
V(x) = V0x2. (3.6)
Здесь V0 представляет собой параметр, который определяет ширину параболы: чем меньше V0, тем шире парабола.
Посмотрев на эту формулу, можно сразу сказать, как будет двигаться шар. Если поместить его куда-то на правую сторону параболы, например в точку x = x0, он покатится вниз, а затем начнет подъем по левой стороне. Так как потенциал на обеих сторонах параболы одинаков и симметричен относительно x = 0, в силу закона сохранения энергии можно сказать, что шар поднимется до точки x = —x0, где наберет первоначальную потенциальную энергию. Затем он снова покатится вниз и вернется в точку x = x0. Эти перемещения будут повторяться бесконечно.
Мы можем подумать о движении шара с точки зрения сил. Из уравнения (3.3) следует, что сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала. Потенциал равен V(x) = V0x2, а из формулы (2.9) мы знаем, что d(x2)/dx = 2x. Поэтому Fx = —dV/dx = –2V0x. При отрицательных значениях x сила будет положительна и толкать шар вправо, при положительных — отрицательна и толкать его влево, то есть в обоих случаях — к минимуму параболы, точке x = 0. Такая сила называется восстанавливающей. Ее значение пропорционально расстоянию от точки равновесия x = 0.
Подобные системы называются осцилляторами, поскольку совершают возвратно-поступательные движения. У гармонического осциллятора потенциал строго пропорционален x2 (например, если вместо x2 взять x4, осциллятор не будет гармоническим); у простого гармонического осциллятора энергия полностью сохраняется (за отсутствием трения). Есть также гармонические осцилляторы «с затуханием», у которых трение не равно нулю, и «с возбуждением», в которые с течением времени поступает дополнительная энергия.
Можно построить график работы простого гармонического осциллятора. Для простоты изложения примем x0 = 1. Частица будет перемещаться вниз до –1, а затем возвращаться назад к 1. Колебания происходят бесконечно.
Функции такого вида могут быть знакомы тем, кто изучал тригонометрию (или вызывать у них воспоминания). Есть две очень важные тригонометрические функции: синус, график которой начинается с нуля, поднимается до +1, опускается до –1 и возвращается в ноль; и косинус, график которой начинается с +1, опускается до –1 и возвращается на +1.
Проще всего определить тригонометрические функции при помощи единичной окружности, то есть окружности с радиусом 1. Любую точку на ней можно однозначно определить при помощи угла ? относительно оси x. Мы будем измерять углы в радианах, особых единицах, в которых 360 градусам соответствует 2? радиан, где ? = 3,14159… Это знаменитая константа, которую можно получить, если разделить длину любой окружности на ее диаметр (поэтому один радиан равен 180/? градусов). Есть много причин использовать радианы. Прежде всего потому, что интегралы и производные косинусов и синусов проще записывать. В радианах cos ? равен проекции точки на окружности на ось x, а sin ? — на ось y.
Как можно заметить, cos(0) = 1, а sin(0) = 0. Далее обе функции совершают колебания с периодом 2? радиан.
На вид график работы простого гармонического осциллятора очень похож на график косинуса. И это действительно так. Если осциллятор начинает работу из неподвижного состояния, действует формула:
x(t) = x0cos(?t). (3.7)
Греческая буква ? означает угловую частоту осциллятора. При описании любых колебаний частота f показывает, как часто осциллятор возвращается в начальную точку, а угловая частота ? — как часто осциллятор делает полное колебание от 0 до 2?. Эти частоты связаны формулой ? = 2?f. У гармонического осциллятора с потенциалом (3.6) угловая частота составляет