В общем случае фазовое пространство — это математическая конструкция с очень большой размерностью, которая зависит от конкретной системы. Впервые эта идея нашла применение в работах Людвига Больцмана, Джеймса Клерка Максвелла и других ученых XIX века, которые занимались статической механикой и регулярно рассматривали системы из большого числа частиц. При этом под «большим числом» традиционно понимается число Авогадро, 6 x 1023, которому примерно равно количество атомов в одном грамме атомарного водорода.

Один грамм — немного, но все же заметно для человека, поэтому все, что имеет такой или больший размер, можно смело назвать макроскопическим. Множество, состоящее из числа Авогадро частиц, можно описать фазовым пространством с размерностью 3,6 x 1024. И это очень много.

Однако размерность фазового пространства может быть совсем не большой. Например, простой гармонический осциллятор имеет одномерное конфигурационное пространство (положение x), поэтому фазовое пространство будет двумерным: {x, p}. Его несложно и полезно нарисовать.

На этом рисунке показаны три возможные траектории какого-то простого гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Импульс и положение изменяются циклически, но из разных начальных точек. Когда положение равно нулю, импульс достигает максимума и наоборот. Поэтому эти траектории будут эллипсами, размеры которых определяются начальным условиями. (Обратите внимание: речь идет об эллипсах в фазовом пространстве. В реальном пространстве осциллятор перемещается вперед и назад. Фазовое пространство устроено совсем по-иному. Нам нет нужды говорить о «скорости в фазовом пространстве», поскольку вся траектория определяется только начальной точкой.) Частота колебаний не зависит от начальной амплитуды. Поэтому один оборот по эллипсу система будет совершать за одно и то же время, каких бы размеров он ни был.

Чтобы немного развлечься, давайте посмотрим, что будет, если в системе появится трение, то есть возьмем осциллятор с затуханием, а не простой. Интуитивно мы знаем ответ: начнутся колебательные движения, но потеря энергии приведет к постепенному уменьшению амплитуды. Траектория такой системы в фазовом пространстве будет иметь форму спирали, сходящейся к центру.

Мы много говорили о шарах, катящихся с холмов, и осцилляторах, которые движутся вперед и назад. Порадуем же себя чем-нибудь сногсшибательным.

Знакомясь с классической механикой, мы сделали акцент на парадигме Лапласа, согласно которой по заданному состоянию системы (точке в ее фазовом пространстве, то есть импульсу и положению) в какой-то момент времени можно определить всю ее траекторию. Возвращаясь к началу этой главы, можно сказать, что это все равно что закрыть глаза и идти по прямой. Мы знаем, что делаем в данный момент, и можем двигаться вперед во времени от одного момента к другому. Физики полагают, что такой подход связан с так называемой проблемой начального значения, так как расчет должен начаться с какого-то определенного состояния.

Однако прямую линию можно построить и по-другому, например натянув веревку между деревьями. Для этого нам не нужно думать о «начальном состоянии», достаточно двух деревьев, а веревка автоматически даст нам прямую, проложенную в нужном направлении. Этот подход решает проблему начального значения, но добавляет другую — проблему граничных значений: нам нужно знать начальную и конечную точки, то есть два дерева.

Веревку между деревьями можно описать глобальными, а не локальными свойствами (вспомним различие в описаниях орбит, сделанных Кеплером и Ньютоном). «Движение в одном и том же направлении» — главным образом локальный процесс: в каждый момент времени выполняются какие-то определенные действия. «Движение по кратчайшему пути» — глобальный процесс: нужно сравнить длину натянутой веревки с длиной ослабленной, а потому непрямолинейной.

Мы как бы представляем себе огромное математическое пространство: пространство всех возможных путей, вдоль которых мы можем протянуть веревку от одной точки к другой. Большинство из них будут совсем не прямыми, поскольку существует лишь один прямой путь. Извилистых же будет бесконечно много. В этом гигантском множестве возможностей прямой путь отличается тем, что имеет наименьшую длину.

Примечательно, что вся классическая механика может быть изложена на таком глобальном языке, который совсем не похож на локальный, на котором мы говорили до сих пор. Вместо того чтобы указывать импульс и положение частицы в какой-то момент времени, мы можем указать только положение, но в два момента, например x1 в какой-то начальный момент t1 и положение x2 в какой-то более поздний момент t2. Любая линия в пространстве имеет определенную длину. Аналогичным образом все возможные траектории между (x1, t1) и (x2, t2) можно (как мы увидим) охарактеризовать некоей величиной, которую называют действием и которая зависит от изменения кинетической и потенциальной энергии во время движения. Из всех возможных траекторий частица движется по той, что подчиняется законам Ньютона и, как оказывается, имеет минимальное значение действия.

Эта идея развивалась в период с XVII по XIX век и, как легко догадаться, получила название «принцип наименьшего действия». Она достаточно далека от привычного нам мышления, поэтому сделаем паузу, чтобы поговорить о положенной в ее основу математической философии.

Значительная часть математической науки посвящена изучению пространств и их отображению друг на друга. Простая функция f(x), можно сказать, отображает на себя множество действительных чисел. Мы, сами того не зная, видели уже и другие примеры. Когда мы говорим «положение частицы», мы чаще всего видим точку в пространстве, а математик — отображение этой точки на трехмерное пространство.