Равнодействующая сила является суммой двух сил: направленной вниз силы тяжести и силы реакции земли — нормальной силы. Такое название она получила не потому, что ее воздействие — норма, а потому, что направлена строго по нормали к поверхности, то есть всегда перпендикулярна ей.

Рассмотрим простейший случай из всех, что можно представить: шар находится на ровной земле, то есть высота h(x) для всех значений x одинакова. Сила тяжести

направлена вниз, а нормальная сила — по нормали к поверхности, то есть вверх. Поэтому равнодействующая этих сил также будет вертикальна. Более того, понятно, что она равна нулю, поскольку шар не взлетает с поверхности и не погружается в нее. Другими словами, сила тяжести и нормальная сила равны и противоположно направлены, их сумма равна нулю, а значит, ускорение отсутствует. Поэтому с какой бы начальной скоростью ни двигался шар, он будет сохранять ее и не изменит направление движения.

Если поверхность имеет наклон, модель становится интереснее. Сила тяжести, как и раньше, направлена вниз, но нормальная сила не будет вертикальной. Поэтому и сумма двух сил не будет нулевой: она, а значит и ускорение, будет направлена «вниз с холма». Если в начале эксперимента шар не двигался, он покатится к подножию. Если же он уже двигался вниз, скорость его увеличится, а если вверх — уменьшится.

Движущийся шар обладает потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия равна

(3.2)

где m — масса шара, d ? 9,8 метра в секунду за секунду — ускорение свободного падения, а h(x) — высота холма в точке x. Такая запись может немного смутить тех, кто привык всегда писать знак умножения. И все же m и g здесь константы, а h(x) — функция, которая для каждого значения x дает определенное значение h. Мы просто перемножаем эти три числа и получаем потенциальную энергию. В данном случае мы обозначим ее за V, хотя иногда применяются и другие буквы. Поскольку нас интересует энергия, а не высота холма, часто используют термин «потенциал» V(x).

Обычно, чтобы определить, как будет двигаться шар, мы применяем второй закон Ньютона,

. Однако формула потенциальной энергии дает нам возможность взглянуть на шар чуть по-иному. Реальный шар движется в вертикальном и горизонтальном направлениях, повторяя рельеф поверхности, так что, как мы уже говорили, нам нужно сложить векторы сил и найти равнодействующую. Но так как наш шар не отрывается от земли, достаточно определить лишь горизонтальное перемещение: положение по вертикали и так известно.

Итак, нам нужно подумать об ускорении в направлении x. Оно вызвано силой, которая действует в этом же направлении. Понятно, что эта сила связана с углом наклона поверхности, то есть толкает шар вниз тем интенсивнее, чем круче склон. С точки зрения дифференциального исчисления, сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала по положению:

(3.3)

Буква x в обозначении силы напоминает о том, что она действует горизонтально. Наличие знака «минус» легко объясняется тем, что когда высота холма при движении вправо увеличивается (производная dV/dx имеет положительное значение), сила будет побуждать шар двигаться влево, то есть в отрицательном направлении по x.

Определив воздействующую на шар силу и засучив рукава, мы можем точно узнать, как он будет двигаться по холмам любой формы. Для этого нужно вычислить ускорение по второму закону Ньютона и взять несколько интегралов. Звучит немного утомительно. Поэтому попробуем осмыслить движение шара, взглянув на него с точки зрения сохранения энергии.

Шар обладает не только потенциальной, но и кинетической энергией:

(3.4)

где v — скорость шара. Сложив оба вида энергии, мы получим суммарную энергию шара, которая остается постоянной на протяжении всей его траектории:

(3.5)

Уже само это уравнение позволяет узнать кое-что о движении шара. Кинетическая энергия минимальна (то есть равна нулю), когда шар неподвижен. Следовательно, потенциальная энергия, а значит и высота шара, при нулевой скорости достигает максимума. Аналогичным образом шар разовьет наибольшую скорость, когда потенциальная энергия снизится до минимума, то есть у подножия холма.

Закон сохранения энергии позволяет легко представить себе траекторию движения. Положим шар к подножию холма. Потенциальная энергия минимальна, ее производная равна нулю, а значит, на шар не будет действовать сила и он останется лежать, где лежит. Такое поведение вполне согласуется с тем, что мы понимаем чисто интуитивно: лежащий у подножия шар никуда не покатится.

Теперь поместим шар на склон холма и отпустим. Начальная скорость шара равна нулю, поэтому суммарная энергия будет равна потенциальной. Шар покатится вниз, ускоряясь, а его потенциальная энергия начнет переходить в кинетическую. Затем шар перейдет на другой холм и начнет подниматься. Его скорость будет снижаться до нуля, а потенциальная энергия — расти до максимума. Достигнув высоты, с которой он начал движение, шар полностью остановится, а затем начнет обратное движение вниз. Поэтому такая точка траектории называется точкой поворота.