Шрифт:
Бывают ли расходящиеся параллельные прямые? Конечно. Нарисовать их немного сложнее. Для этого нужно взять поверхность в форме седла или картофельного чипса.
На таких поверхностях свойства окружностей и треугольников снова меняются, но в противоположную сторону: длина окружности радиусом r будет меньше 2?r, площадь круга — больше ?r2, а сумма углов треугольника — меньше 180°.
В обоих случаях можно заметить важное правило, которое упрощает нам жизнь: любые геометрические свойства двумерного пространства одинаковы во всех его точках и направлениях. Если мы проведем параллельные прямые из концов отрезка определенной длины, они будут сходиться либо расходиться со скоростью, независимой от его местоположения и ориентации. Технически это связано с тем, что мы рассматриваем геометрию постоянной, а не переменной кривизны. Но, разумеется, мы скоро откажемся от таких упрощений — удобной посадочной площадки на карусель, которая начнет кружить нас с бешеной скоростью.
При постоянной кривизне поверхности возможно всего три варианта геометрии двумерного пространства — в них параллельные прямые остаются параллельными, сходятся или расходятся:
• Остаются параллельными: геометрия Евклида, нулевая кривизна.
• Сходятся: сферическая (или эллиптическая) геометрия, положительная кривизна.
• Расходятся: гиперболическая геометрия, отрицательная кривизна.
Взгляд снаружи и взгляд изнутри
Впервые о неевклидовой геометрии заговорили только в начале XIX века, через две тысячи лет после Евклида. Основные идеи гиперболической геометрии независимо друг от друга высказали Николай Иванович Лобачевский в России и Янош Бойяи в Венгрии. Может показаться странным, что гиперболическая геометрия появилась раньше сферической и что на это потребовалось столько времени. Неужели так сложно нарисовать геометрические фигуры на сфере?
Обе странности частично объясняют друг друга. Конечно, все знали о сферах, рисовали на них окружности и углы. Однако никто не думал о том, что нужно изобретать для этого целую новую геометрию. Двухмерная сферическая поверхность как совокупность всех точек, удаленных от центра на расстояние R, считалась органичной частью трехмерной геометрии Евклида, которая превосходно описывала все свойства сферы.
Другое дело поверхности с отрицательной кривизной. Мы, конечно, можем представить себе седло или чипс, но при ближайшем рассмотрении окажется, что у таких объектов из реального мира кривизна хоть и отрицательна, но не постоянна. Есть центральная точка, по мере удаления от которой кривизна постепенно снижается. И как бы ни был умен математик, нельзя органично встроить двумерное пространство с постоянной отрицательной кривизной в трехмерное пространство Евклида.
Вот почему гиперболическая геометрия стала поистине впечатляющим достижением интеллекта. Мы можем записать набор аксиом, определяющих геометрические свойства двумерного пространства с постоянной отрицательной кривизной, которое иногда называют гиперболической плоскостью (в отличие от «плоской» плоскости Евклида). В рамках этой системы мы можем доказывать теоремы, выводить формулы длины окружности и площади круга, искать ответы на любые другие геометрические задачи. Но мы не можем построить такое пространство в реальном мире, где мы живем. Точная гиперболическая плоскость существует только в нашем воображении.
В истории математики гиперболическая геометрия стала огромным теоретическим шагом вперед. Освободившись от самоограничений, связанных с рассмотрением только реально существующих или возможных объектов, ученые смогли изучать любые аксиоматические системы просто ради интереса.
Что касается физиков, то перед ними открылась возможность анализировать внутренние геометрические свойства пространств, отличные от внешних свойств, которыми они обладают как части пространств более обширных. Такое разграничение впервые предложил Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков всех времен. (Гаусс известен тем, что не спешил записывать результаты своих исследований. Он утверждал, что изобрел гиперболическую геометрию раньше Лобачевского и Бойяи. Даже если и так, никаких публикаций на эту тему у Гаусса нет, а за хорошие, но невысказанные идеи никто, как известно, не хвалит.)
Рассматривая фигуры, нарисованные на столе или же сфере в трехмерном пространстве, мы, разумеется, смотрим на них со стороны. С этой точки зрения «кривизна» говорит нам о том, как фигура сгибается и скручивается внутри большого пространства, в котором она находится. Такая кривизна является внешней.
Однако мы можем подумать о том, как выглядят эти фигуры в глазах воображаемых существ, живущих рядом с ними. Например, они могли бы нарисовать окружность, а затем измерить ее длину. Полученный результат не будет иметь никакого отношения к внешнему пространству, которое даже не обязано существовать. Характеристики, которые можно измерить только изнутри, определяют внутреннюю геометрию пространства.