Рассмотрим наглядный пример: представим себе двумерный цилиндр в трехмерном пространстве.

Для нас цилиндр, разумеется, выглядит круглым, но это последствие взгляда со стороны. На самом деле это двумерное пространство, по сути — плоскость. Мы можем проверить это: нарисовать параллельные прямые и посмотреть на них, построить треугольник и сложить его углы, посчитать длину окружности или площадь круга. В каждом из этих случаев внутренняя геометрия цилиндра будет такой же, как и на плоскости.

Мы обратили на это внимание, так как в конечном итоге мы подойдем к разговору о кривизне пространства-времени. Наша вселенная не является частью чего-то большего. По крайней мере, насколько об этом известно нам. Поэтому в рассуждениях о пространстве-времени мы можем опираться только на собственное, внутреннее представление о нем.

Гаусс не только понял различие между внутренней и внешней кривизной, но и впервые изучил случаи, когда она не является постоянной, то есть различна по форме и величине в разных точках пространства. Но когда дело дошло до разработки полноценной теории таких произвольных геометрий, он поручил эту работу своему ученику Бернхарду Риману.

В 1853 году Риман готовился к защите докторской диссертации [20] . Звание доктора наук в Германии необходимо для получения права преподавать в университете. (В своей кандидатской работе Риман впервые использовал комплексные числа для изучения двумерных поверхностей, в докторантуре же много времени посвятил обоснованию интегрального исчисления. Он был амбициозным и продуктивным юношей.)

Говорят, что Риман показал список возможных тем для диссертации Гауссу, и тот, к его удивлению, выбрал из них ту, которая самому Риману казалась наименее интересной: основы геометрии. Получив такое задание, Риман крепко задумался о том, что мы на самом деле понимаем под «геометрией» пространства и о каком «пространстве» мы вообще говорим, учитывая, что сами находимся внутри него. (Перед докладом он скромно сообщил, что «не практиковался в подобных философских изысканиях», хотя доложить-то получилось как нельзя лучше.) В итоге написанная им работа оказала огромное влияние на развитие математики, а сделанные в ней выводы до сих пор лежат в основе общей теории относительности и современного представления о пространстве-времени. К сожалению, ранняя смерть от туберкулеза не позволила Риману продолжить научную деятельность. Кто знает, какие еще открытия он мог бы сделать.

Риман начал свои рассуждения с определения понятия многообразия — бесконечного множества точек, плавно соединяющихся в пространство какой-то определенной размерности. Помните, что при близком рассмотрении любая кривая линия кажется прямой? Множества работают по такому же принципу, но в нескольких измерениях. При достаточном сильном увеличении масштаба любые объекты в искривленном пространстве подчиняются законам геометрии Евклида. Кривизна, которая проявляется на отдалении, определяется тем, как бесконечно малые кусочки плоского пространства соединяются друг с другом в пространстве, окружающем многообразие.

Важнейшая особенность многообразий заключается в том, что они не обязаны находиться внутри какого-то другого пространства, даже если в нашем представлении это именно так. Изображая двумерное многообразие, например сферу или тор, мы думаем именно о двумерной поверхности, а не о трехмерном теле, форму которого оно принимают. Такое представление — лишь артефакт того, как мы, трехмерные существа, представляем себе окружающие нас вещи. Многообразия имеют четко определенную топологию и геометрию сами по себе. Их следует рассматривать изнутри, а не снаружи.

Теперь нам нужно понять, как определить геометрию многообразия, оперируя только внутренними понятиями, которые мы можем измерить с позиции внутреннего же наблюдателя. Как это сделать? Вариантов может быть очень много. Главное — получить такие базовые геометрические величины, на основании которых мы можем вывести любые другие, какие лишь захотим.

Риман предусмотрел способы для определения длин кривых. Не просто каких-то конкретных — любых, какие нам придет в голову нарисовать. А зная длину любой возможной кривой, можно узнать все, что таит в себе геометрия.

Определить длину любой кривой… От постановки такой задачи немудрено опустить руки. Даже простые многообразия вроде сферы и плоскости позволяют построить огромное число разных кривых. К счастью, у нас есть ключ от этого зоопарка: высшая математика. Нам нет нужды выводить формулу для каждой отдельной кривой. Вместо этого мы найдем выражение для длины бесконечно малого ее участка, а затем возьмем от него интеграл.

Чтобы немного облегчить работу воображению, представим себе плоскую двумерную поверхность с декартовыми координатами (x, y). Кто-то нарисовал на ней кривую (как повела рука), нам же необходимо измерить ее бесконечно малый участок ds, выразив его длину через бесконечно малые приращения координат dx и dy. Формулу для такого расчета мы уже знаем: это теорема Пифагора. (Если эти обозначения напомнят вам формулу (6.10), при помощи которой мы находили длину сегмента пространственноподобной траектории в пространстве-времени, не беспокойтесь: буквы просто кочуют из формулы в формулу.)

ds2 = dx2 + dy2. (7.1)

Пока что все просто. Но у декартовых координат есть одна особенность: при постоянном x линии всегда идеально прямые и параллельны друг другу. При постоянном y все то же самое. Если аксиома параллельности не выполняется (то есть многообразие не является евклидовым), определить координаты получится не во всех точках. К примеру, на сфере декартовых координат вообще быть не может.