(7.16)

Не знаю, зачем это может понадобиться, но это вполне допустимо. И все же, когда число индексов больше двух, проще думать об отдельных элементах, а не о том, как выглядит какой-то гигантский массив.

Второй способ определить тензор — представить его в виде отображения одного набора тензоров на другой тензор. Замкнутый круг? Что делать, все взаимосвязано. Например, если у нас есть два вектора, ?i и wj, мы можем подставить их в матрицу и вывести численное значение. Метрический тензор работает как черный ящик: на вход поступают два вектора, а на выходе получается число.

Чтобы получить это число, необходимо подставить соответствующие элементы векторов в матрицу, а затем последовательно сложить полученные значения, перебирая значения верхних и нижних индексов:

(7.17)

Это выражение широко известно, по крайней мере среди людей, кто часто сталкивается с векторами. Мы говорим о скалярном, или внутреннем, произведении двух векторов:

(7.18)

В обычном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Если векторы направлены в одну сторону, оно равно произведению их длин, а если в противоположные — всегда равно нулю.

Мы только что открыли маленький секрет: метрика не только позволяет вычислить длину кривой, но и определяет, что такое «перпендикуляр». Если две линии пересекаются, а скалярное произведение векторов, касательных к ним в точке пересечения, равно нулю, такие линии считаются перпендикулярными. Вот вам пример того, что метрика содержит в себе все данные о геометрии пространства.

Вы заметили, что индексы записываются то надстрочными (как у векторов и координат), то подстрочными знаками (как у метрик)? Так делается не по чьей-то странной прихоти. Верхние и нижние индексы имеют важные отличия. Сейчас нам достаточно знать лишь то, что суммирование по индексам, как в выражении (7.17), допустимо лишь при условии, что один и тот же индекс представлен и в верхнем, и в нижнем вариантах. Индексы, по которым идет суммирование, называются «немыми», а все остальные — «свободными». Свободные индексы могут иметь любые, но одинаковые во всех слагаемых значения, немые не имеют «значения», но лишь показывают, что нужно «сложить все возможные элементы с соответствующим индексом».

Суммирование по немым индексам настолько часто используется в тензорном исчислении, что Эйнштейн придумал, как упростить запись формул. Это изобретение называется правилом Эйнштейна и заключается в том, что если в формуле тензора либо произведения тензоров один и тот же индекс используется и в верхнем, и в нижнем вариантах, мы можем опустить знак суммы. Например:

(7.19)

Эйнштейн был настолько доволен своим правилом, что как-то сказал одному из друзей: «Я сделал великое математическое открытие!» Для общей теории относительности суммирование по немым индексам — чрезвычайно важная операция, поэтому правило Эйнштейна помогает нам сберечь немало времени.

Огромная заслуга Римана в том, что предложенная им метрика многообразия действительно содержит все данные о его кривизне и геометрических свойствах. Настало время подумать о том, как извлечь эти данные. Мы начнем с разговора о том, как можно переместить вектор из одной точки в другую. На этот процесс не может не влиять кривизна. К сожалению, нам придется сильно усложнить математические формулы. Поэтому мы остановимся только на самых важных моментах, а всех интересующихся деталями я адресую за ними в приложение Б.

Представьте, что вы находитесь в какой-то точке искривленного многообразия и держите в руках вектор. Пусть, например, это будет вращающийся гироскоп, ось которого сориентирована в каком-то пространственном направлении. На некотором расстоянии от вас стоит другой человек, у которого тоже есть вектор. Нужно сравнить эти векторы: по направлению, по длине и т. д. Как это сделать?

В привычном нам плоском пространстве нет ничего проще. Нужно подойти к этому человеку, продолжая держать вектор и не меняя его направления, а затем приложить два вектора друг к другу. Но что значит «не меняя направления»? Один из вариантов — построить традиционную декартову систему координат и сохранить все компоненты вектора неизменными. Тогда мы сможем без всяких проблем таскать его с места на место.

Но вот беда: такой подход не работает в неплоских геометриях. В них нет «декартовых систем координат», в основе которых лежит плоская метрика. Но может быть, эта проблема чисто техническая, и можно найти какой-то эквивалент сохранения направления вектора при переносе?

Действительно можно. Параллельный перенос — это процесс, в ходе которого вектор, исходящий из какой-то точки, перемещается по определенной траектории, оставаясь параллельным себе самому в предыдущем положении. (Как вы, возможно, догадались, последовательные положения будут отстоять друг от друга на бесконечно малое расстояние, а значит, тянуть вектор мы будем не без помощи высшей математики.)