(8.21)

Давайте представим себе, что еще не знаем уравнение Эйнштейна. Попробуем вывести его из принципа наименьшего действия. Задача понятна: нам нужно определить плотность Лагранжа L. Она должна состоять из метрики и ее производных (так же, как плотность Лагранжа простой частицы состоит из ее положения и его производных, а именно скорости). Хорошая новость в том, что мы ищем скалярную функцию: тензор с нулем индексов, а не с двумя, как в левой части выражения (8.14). Это существенно облегчит нашу работу.

Фактически такая функция только одна: это скаляр кривизны Риччи R. И так как других вариантов для нашей метрики, в общем-то, нет, можно записать, что

. Для правильной работы сил гравитации в формулу нужно включить гравитационную постоянную G. Кроме того, нам потребуется плотность Лагранжа для материи. Мы не можем сказать, чему она равна, поскольку это зависит от типа материи. В результате получим такое выражение:

(8.22)

Вот и все. Мы определили действие, которое сводит к минимуму метрику пространства-времени. Как можно заметить, оно соответствует уравнению Эйнштейна (8.18). Правда, для простоты мы опустили одну деталь: в искривленном пространстве-времени «пространственный элемент» выглядит несколько необычно. И чтобы помнить об этом, мы записали его как

[27] , а не просто d4x.

Вдумайтесь, насколько прекрасен этот подход. Предложить правильный вариант скалярной плотности Лагранжа гораздо проще, чем подобрать тензор для уравнения Эйнштейна, а наш любимый закон сохранения энергии соблюдается автоматически, без всяких усилий или проверок с нашей стороны. Разумеется, чтобы верно истолковать принцип наименьшего действия, а затем проделать все нужные выкладки (которые здесь мы, естественно, не приводим) и получить уравнение Эйнштейна, требуется сильный математик.

Эйнштейн, конечно же, был очень силен в математике, а его коллега Давид Гильберт — один из величайших математиков начала XX века — еще сильнее. («Пространство Гильберта» — одно из важнейших понятий общей теории относительности.) Летом 1915 года, незадолго до того, как было выведено знаменитое уравнение, Гильберт предложил Эйнштейну прочитать несколько лекций в Гёттингенском университете. Ученые много говорили об искривленном пространстве-времени. Эйнштейн даже гостил у Гильберта, а когда вернулся в Берлин, продолжил переписку с ним. В результате они практически одновременно пришли к уравнению (8.18): Эйнштейн — методом проб и ошибок, а Гильберт — посредством математических ухищрений.

По мнению некоторых историков, Гильберт вывел уравнение поля за несколько дней до Эйнштейна, а тот в своей работе во многом полагался на материал, полученный от Гильберта в ходе переписки. Достоверных сведений об этом нет: часть писем утрачена, документы искажены правками. Ясно лишь то, что именно Эйнштейн впервые предложил рассмотреть гравитацию в терминах кривизны пространства-времени и он же впервые публично представил свое уравнение в окончательном виде, четко обосновав с точки зрения физики. Поэтому выражение (8.18) принято называть «уравнением Эйнштейна», а формулу (8.22) — «действием Эйнштейна — Гильберта». Эти названия довольно точно передают исторический контекст, а так бывает далеко не всегда.

В отличие от большинства физических теорий, целью создания общей теории относительности было не объяснение каких-то загадочных аномалий, найденных в ходе экспериментов, а устранение нестыковок между другими теориями. Эйнштейн пытался согласовать давно известные представления о гравитации, прежде всего закон обратных квадратов и принцип эквивалентности, со специальной теорией относительности. В итоге он смог это сделать, стоило лишь представить, что гравитация — следствие кривизны пространства-времени.

Когда же все было сделано и появилось уравнение поля, настало время вернуться к экспериментам, проверить новую теорию на практике.

Одной из таких проверок стал вопрос о прецессии орбиты Меркурия, что было немного нечестно, поскольку ученые уже неплохо изучили эту проблему. Кеплер утверждал, что планеты движутся по идеальным эллипсам, а Ньютон уточнил, что так может быть лишь тогда, когда вокруг идеально сферического Солнца вращается только одна планета, которая не испытывает при этом каких-то иных воздействий. В реальном мире планеты взаимодействуют друг с другом, и их орбиты немного смещаются. Подсчеты показали, что ось орбиты Меркурия поворачивается на 0,148° за сто лет.

В начале XIX века астрономы измерили прецессию Меркурия и выяснили, что ее скорость составляет 0,160° за сто лет. Расхождение между теорией и практикой — всего в 0,012 — довольно мало, но не может считаться случайной ошибкой. Французский астроном Урбен Леверье объяснил схожую аномалию орбиты Урана, предположив, что в Солнечной системе есть еще одна планета — Нептун. Аналогичные рассуждения привели ученого к мысли о том, что неизвестная пока планета есть и рядом с Меркурием. Она даже получила имя: Вулкан, но, несмотря на все усилия, астрономы не смогли ее обнаружить. В конце концов было решено, что такой планеты не существует.