Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµ? = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.

Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):

(9.4)

Другими словами, полная метрика Шварцшильда имеет вид:

(9.5)

Или в форме линейного элемента:

(9.6)

Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).

Несколько слов о константах в формуле Шварцшильда. G — это, конечно же, гравитационная постоянная Ньютона, а M — масса объекта, гравитацию которого мы рассматриваем. Но если подойти к вопросу педантично, можно увидеть, что М не обязано быть массой, поскольку метрика (9.5) соответствует уравнению Эйнштейна при любых М. Но понимая это, мы можем решить, что M будет массой, и подтвердить свой выбор путем сравнения с ньютоновским пределом или аналогичными вещами. И в данном случае все действительно так. Однако нам следует помнить о том, что решения, принятые в силу их очевидности, обычно зависят от наших теоретических предпосылок и могут измениться при обновлении теорий, положенных в их основу.

Внимательно глядя на метрику Шварцшильда (9.5), попробуем понять, о чем она говорит нам.

При помощи этой метрики мы можем вычислять расстояния в пространстве-времени. В том числе, мы можем найти собственное время ?, интегрируя

вдоль временеподобной траектории. Рассмотрим объект, который остается неподвижным в пространственных координатах (r, ?, ?). Таким объектом может быть, к примеру, человек на Земле или сама Земля на гелиоцентрической орбите. Мы можем допустить такое приближение, поскольку скорости что человека, что Земли очень малы в сравнении со скоростью света, а значит, мы можем ими пренебречь. Классическая сферическая корова.

При движении по такой траектории пространственные координаты не изменяются, а значит, dr = d? = d? = 0. (Нет изменения, нет и приращений в соответствующих направлениях.) Поэтому мы можем узнать собственное время из формулы (9.6):

(9.7)

Проинтегрировать это выражение несложно. Извлечем из обеих его сторон квадратный корень. Множитель в скобках не зависит от t, то есть при разговоре о времени будет постоянным. Следовательно, для конечного интервала мы получаем:

(9.8)

Не забываем о том, что t — координатное время, придуманное нами для удобства, а ? — собственное время, которое на самом деле показывают часы. Согласно этой формуле затраты собственного времени будут пропорциональны изменению координатного времени t, а коэффициент пропорциональности зависит от радиальной координаты r.

Эту зависимость нетрудно интерпретировать. При больших значениях r коэффициент

близок к 1, а собственное и координатное время совпадают. Вдали от Солнца гравитационное поле слабое, а пространство-время почти плоское. В этих условиях все часы отсчитывают время, практически равное координатному, как и предсказывал Ньютон.

Однако по мере приближения r к значению 2GM (но r все еще превышает его), 2GM/r будет стремиться к единице, а

— к нулю. При этом изменение t будет все меньше и меньше собственного времени. (На время забудем о том, что r может быть меньше или равно 2GM: эта ситуация требует более тщательного осмысления.) То есть в сильном гравитационном поле часы будут идти медленнее, чем координатное время.

Это и есть гравитационное замедление времени. Именно так: мы специально не говорим, что «в гравитационных полях время течет замедленно», и можно понять почему. Часы продолжают отмерять одну секунду за секунду, а вот соотношение между секундой собственного и координатного времени изменилось. Конечно, неподвижный наблюдатель не замечает этого, поскольку ему нет дела до каких-то там искусственно придуманных координат.

Если же мы будем сравнивать две траектории между одними и теми же точками, разница начинает иметь значение. Представьте себе двух друзей, которые живут на далекой планете. Они синхронизируют часы, после чего один из них надолго улетает к Солнцу, другой же остается на месте. Когда они снова встретятся на родной планете, расхождение в собственном времени сделает свое дело: летавший к Солнцу меньше постареет. (Хотя по стандартам общей теории относительности гравитационное поле очень слабо даже вблизи поверхности Солнца, так что разница в возрасте будет не очень большой.)