В специальной теории относительности не подвергающиеся воздействию сил объекты движутся по прямым линиям. Но мы уже знаем, что в более общем случае, на искривленном многообразии вместо прямых следует говорить о геодезических линиях. Поэтому, согласно общей теории относительности, пространство-время искривлено, а неускоряющиеся объекты движутся в нем по геодезическим линиям.

Вы можете возразить, что Земля движется вокруг Солнца по эллипсу, который никак нельзя назвать прямой. В обычном пространстве — именно так, но в пространстве-времени все по-другому. В неподвижной системе отсчета, центром которой является Солнце, Земля движется главным образом во времени, поскольку ее пространственная скорость очень мала (примерно в десять тысяч раз меньше скорости света). Но гравитация Солнца плавно искривляет пространство-время вокруг него, из-за чего геодезическая линия в обычном пространстве похожа на эллипс. Земля же делает все возможное, чтобы двигаться по прямой, как и чашка.

В главе 6 мы говорили о пространстве-времени Минковского, а также о схожести формул собственного времени и длины пространственноподобных кривых с теоремой Пифагора. Там еще появлялся забавный знак «минус». В главе 7 мы познакомились с геометрией Римана, в основе которой лежит метрический тензор, позволяющий получить линейный элемент для вычисления длины кривых линий. Эти понятия тесно связаны между собой. Согласно теории относительности, пространство-время имеет особый вид метрики, в которой временеподобное направление характеризуется знаком «минус». Такая метрика называется метрикой Лоренца. А если бы пространство-время было плоским, мы получили бы метрику Минковского.

Давайте вспомним об индексах. Для нумерации измерений пространства-времени мы применяем греческие буквы (xµ), причем время считается измерением номер ноль (x0 = t), а для обычного пространства — латинские (xi = x1, x2, x3). В этих обозначениях метрика Минковского выглядит так:

(8.7)

Или в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (8.8)

Знак «минус» несколько затрудняет работу, но с этим можно смириться. При помощи этих формул мы можем легко найти длину любой пространственноподобной кривой. Мы уже делали это, записывая выражение (6.10). Но для временеподобных кривых, по которым как раз и движутся реальные объекты, пространственно-временной интервал ds2 оказывается отрицательным, а

и вовсе комплексным числом. Странно, но совсем не страшно. Для таких траекторий нам просто следует говорить о собственном времени, для которого действует формула

d?2 = —ds2. (8.9)

Как вариант, можно умножить правую часть выражения (8.8) на –1, то есть определить линейный элемент как отрицательное значение того, о чем мы говорили выше. Тогда для временеподобных кривых он будет давать собственное время, а результаты вычислений для пространственноподобных нам придется умножать на –1. Вполне разумный подход, который используется во многих учебниках. (Надо сказать, что большинство физиков, занимающихся теорией относительности, придерживаются варианта «—+++», тогда как в физике частиц чаще применяется +—–»). Наш выбор более удобен, поскольку, если понадобится поговорить о «пространстве в какой-то момент времени», метрика пространства-времени сведется к привычной метрике Евклида («+++»).

Специальную теорию относительности можно описать одним коротким предложением: «пространство-время описывается метрикой Минковского». В выражениях (8.7) и (8.8) заключен весь объем данных, необходимых для разговора о расстояниях, времени, световых конусах, космических путешествиях близнецов и других приключениях.

Однако по мнению Эйнштейна, реальное пространство-время в нашей вселенной выглядит как пространство-время Минковского только на небольших участках, которые, соединенные друг с другом, образуют искривленное многообразие, описанное Риманом. Его геометрия также характеризуется метрикой, но гораздо более сложной, чем (8.7). Поиски этой метрики и попытки понять ее влияние на процессы во вселенной — именно этим и заняты современные физики, специалисты по общей теории относительности.

Рассмотрим простую метрику, которая не сильно отличается от метрики Минковского, — метрику расширяющейся вселенной:

(8.10)

В этой записи все нулевые элементы опущены. Но мы будем помнить о том, что они есть, и записывать, если возникнет необходимость. Та же самая метрика в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2]. (8.11)

Функция a(t) называется масштабным фактором. Если задуматься над происходящим с физической точки зрения, мы увидим, что время идет, как обычно. Поэтому элемент g00 метрики, то есть коэффициент при dt2, равен –1, как и в пространстве-времени Минковского. А вот пространственные элементы умножаются на масштабный фактор, то есть расстояние между двумя объектами (например, галактиками) увеличивается по мере возрастания a(t). Таким образом, мы получили математическую модель расширяющегося пространства.