Шрифт:
BC = 2BF = 2MB sin = 2px sin .
Таким образом, S = p(p + q)x^2 sin cos = 1/2 p(p + q)x^2 sin 2, откуда
Ответ.
1.50. Стороны треугольника по условию равны а– d, а, а + d, где через а мы обозначили длину средней стороны. Тогда полупериметр p = 3a/2 и из формулы Герона получим уравнение относительно а:
Введем новую переменную
откуда
Далее найдем
Поскольку R = abc/4S, то в нашем случае
Ответ.
1.51. Проведем PP1 || AC и QQ1 || AC (рис. P.1.51).
Пусть P2 — точка пересечения PP1 с BR, а Q2 — точка пересечения QQ1 с BR. По условию P — середина AB. Следовательно, Р1 — середина BC, а Р2 — середина BR. Аналогично Q — середина P1B (так как по условию QB = BC/4), Q1 — середина PB, Q2 — середина BP2. Из подобия треугольников P2TP и Q2TQ (у них равны углы) следует, что P2T : TQ2 = PP2 : QQ2. Так как P2P1 = 4P2P, а
Ответ. B отношении 1 : 2.
1.52. Способ 1. Соединим точки P и T (рис. P.1.52, а).
Пусть QN = RL = а, QT = m, TL = n, RT = l, TN = k. Обозначим треугольники, полученные из треугольника PQR: треугольник LTR — цифрой 1, треугольник RTQ — цифрой 2, треугольник QTN — цифрой 3, треугольник NTP — цифрой 4, треугольник PTL — цифрой 5, а их площади или площади образовавшихся из них фигур буквой S с соответствующими индексами.
Треугольники 1 и 1 + 5 имеют общую высоту. Аналогично треугольники 3 и 4. Поэтому
S1 : S1 + 5 = а : PR, S3 : S4 = а : PN,
откуда
< image l:href="#"/>(7)
B треугольниках 1 и 3 углы при вершине T равны как вертикальные, т. е. S1 : S3 = (nl) : (mk). У треугольников 4 и 1 + 5 общая высота, соответствующая вершине P, т. е. S4 : S1 + 5 = k : l. Остается найти PN : PR из (7).
Способ 2. Пусть QN = RL = а, QT = m, TL = n (рис. P.1.52, б). Обозначим угол NRP через , угол PNR через , а равные углы RTL и NTQ через .
Из треугольника PNR имеем
PN/PR = sin /sin . (8)
Из треугольника NTQ имеем
a/m = sin /sin . (9)
Из треугольника LTR имеем
a/n = sin /sin . (10)
Разделим (10) на (9):
m/n = sin /sin , т. е. в силу (8) PN/PR = n/m.