Шрифт:
получим
откуда
Ответ.
1.40. Запишем отношение площадей данных прямоугольных треугольников (рис. P.1.40):
Кроме того, AD · AB = AE · AC. Найдем отсюда AO и подставим в предыдущее равенство; получим
Обозначим углы ADC и AEB, опирающиеся на дугу BC, через :
Следовательно, дуга BC равна
Угол А прямой и измеряется полуразностью высекаемых им на окружности дуг (2 - DE) и BC:
/2 = (2 - DE) - BC/2, т.E. /2 = 1/2 (DE + BC).
Отсюда найдем величину дуги DE, которая равна
Ответ.
1.41. Введем обозначения, указанные на рис. P.1.41. B треугольнике AOO1:
Чтобы применить к этому треугольнику теорему косинусов, обозначим угол BAD через . Из треугольника ABD:
Следовательно, по теореме косинусов для треугольника АОО1:
Раскроем скобки и воспользуемся формулой косинуса суммы. После упрощения получим искомый радиус.
Ответ.
1.42. Обозначим сторону квадрата через а. Тогда (см. рис. P.1.42)
Перед корнем выбраны два знака, так как искомый квадрат может быть расположен либо так, как показано на рис. P.1.42, а, либо так, как показано на рис. P.1.42, б. B первом случае нужно взять знак плюс, а во втором — минус.
С другой стороны, из треугольника OBD находим
После простых преобразований и повторного возведения в квадрат получаем уравнение
2a4– 2a^2(R^2 + r^2) + (R^2 - r^2)^2 = 0,
в котором исчезло различие между случаями, изображенными на рис. P.1.42, а, б. Из последнего уравнения имеем
или
Из первого выражения для а^2 видно, что оба значения положительны, если неотрицательно подкоренное выражение. Так как по условию R > r, то получаем
и окончательно
Ответ.
Задача имеет решение при 1 < R/r <= 1 + 2. Если же R/r = 1 + 2, то задача имеет единственное решение
1.43. Так как OE^2 = R^2 - x^2 и OF = R/2 (рис. P.1.43), то
R^2 - x^2 = (R/2 + 2x)^2,
решая которое найдем половину стороны квадрата x = 3/2 .
Ответ. 3.
1.44. Введем обозначения, указанные на рис. P.1.44. Так как меньшая окружность вписана в угол ADC, то ее центр О1 лежит на биссектрисе этого угла.
Из треугольника ОО1F имеем ОО^21 = OF^2 + FO^21, т. е.