2.3. Пусть треугольник ABC искомый (рис. P.2.3). Отразим его от вертикальной оси, проходящей через середину BC. После этого треугольник CA1A отразим от оси A1A. B четырехугольнике C1ABA1 противоположные стороны AB и C1A1, а также A1B и C1A равны, т. е. он — параллелограмм с углом при вершине C1 и углом - при вершине А1.

Так как точка С1 отстоит от С на расстоянии 2hа, то треугольник СС1В легко построить. Остается найти точку А1 как пересечение дуги сегмента, вмещающего угол - и построенного на отрезке С1В, с прямой, параллельной СВ и отстоящей от СВ на расстоянии hа.

Задача имеет два симметричных решения, так как дуга сегмента может быть построена в любую сторону от С1В. Построение возможно при любом соотношении между а, hа и 0 < < .

2.4. Пусть треугольник ABC — искомый и О — центр вписанной в него окружности. Если на отрезке АО = R (рис. P.2.4), как на диаметре, построить окружность, то она пересечет стороны AC и AB в точках F и E, являющихся серединами AC и AB соответственно. Отсюда построение: на отрезке АО = R строим, как на диаметре, окружность. Из точки А раствором циркуля, равным b/2, делаем на окружности засечку в точке F. Продолжаем AF за точку F на расстояние b/2 и получаем точку С. Из нее проводим дугу радиусом mc.

Задача имеет два решения: треугольник ABC и треугольник AB'С, если дуга ЕЕ' пересекает окружность, построенную на AO; одно решение, если дуга касается окружности, и не имеет решения, если общих точек у дуги и окружности нет.

2.5. Так как углы OBO1 и OCO1 (рис. P.2.5) прямые, то вершины B и С треугольника лежат на окружности, построенной на отрезке ОО1, как на диаметре. Центр этой окружности обозначим буквой Q.

Угол BQC — центральный в той окружности, в которую угол BOC вписан (см. рисунок). Дуга, на которую опирается угол BOC, равна 2 - BQC, а так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, то

ВОС = 2 - 2 ВОС.

Остается найти угол ВОС:

ВОС = - B + C/2 = -  - A/2 = + A/2,

следовательно,

BQC = 2 - ( + А) = - А.

Углы ВАС и BQC дают в сумме ; то же самое можно сказать об углах QBA и QCA, так как сумма всех углов четырехугольника равна 2. Тем самым мы доказали, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

Построение можно провести следующим образом. Строим на отрезке ОО1, как на диаметре, окружность с центром в точке Q. Радиусом О2Q (О2 — центр описанной окружности) проводим окружность с центром в точке О2. B пересечении этих окружностей получим вершины B и С искомого треугольника.

Если точка О2 лежит вне окружности радиуса, равного 1/4 ОО1, с центром Q, то задача имеет единственное решение. B противном случае решения нет. (Докажите.)

2.6. Отбросим на время условие, в силу которого точка E лежит на BC, а остальные условия сохраним. Отложим на AB произвольный отрезок AF (рис. P.2.6), а на BC — отрезок CK = AF. Через точку K проведем прямую, параллельную AC, и из точки N раствором циркуля, равным AF, сделаем на этой прямой засечку.

Фигура AFGH, где отрезок GH параллелен KC, будет подобна искомой с центром подобия в точке А. Строим вершину E, которая должна лежать на пересечении прямых BC и АG. Проводим DE параллельно FG.

Четырехугольник ADEC искомый. (Сделайте рисунок для случая, когда угол B тупой.)