Шрифт:
Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы и образуют угол SDO, косинус которого равен 1. Поэтому
cos cos - sin sin = 1/3 .
Выразив в этом уравнении sin и cos через sin (так как пирамида правильная, углы и острые), получим
где y = sin^2 .
Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем y = 2/11 и вычислим tg :
Поскольку sin^2 = 25/9 sin^2 = 50/99, то аналогично найдем tg .
Ответ. 52/7, 2/3.
3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. P.3.17) имеют общую высоту, проведенную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AM и MS.
< image l:href="#"/>Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что AM : MS = KF : FS.
Отрезки KF и FS выразим через KE. По теореме синусов для треугольника KFE имеем
KF = KE sin /sin ( + ).
Так как KS = KE/2 cos , то
FS = KS– KF = KE/2 cos – KE sin /sin ( + ) = KE sin ( - )/2 cos sin ( + )
(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).
Остается найти отношение KF : FS.
Ответ. 2 sin cos /sin ( - ).
3.18. По условию высоты DO пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пересечения с AB, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB (рис. P.3.18).
Прямая AB перпендикулярна к DO и EC, следовательно, прямые AB и CD тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и AB плоскости ABD, а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой. Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника ADB равна 1/2 b · AD, а площадь треугольника ADC равна 1/2 с · AD. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.
Ответ. b/c.
3.19. Объем пирамиды SABC (рис. P.3.19) равен удвоенному объему пирамиды с основанием DSC и высотой AD.
Так как AD = a/2, то этот объем равен Sa/6, а объем всей пирамиды равен Sa/3, где через S обозначена площадь SDC.
Проведем высоту DE и вычислим EC и DE.
Треугольник CAS равнобедренный (AS = AC), поэтому
EC = AC sin /2 = a/2 cos sin /2.
Так как DC = a/2 tg , то
Остается вычислить объем:
V = aS/3 = a/3 · DE · EC.