Ответ.

3.20. Рассмотрим два случая:

 <= /2, > /2.

Если угол не тупой, то (рис. P.3.20, a) CD = SD = AB/2.

Пусть SO — высота пирамиды, SD и SE — высоты в треугольниках ASB и CSB. Из треугольника SOD

OS = SD sin = AB/2 sin , OD = AB/2 cos .

B треугольнике COE угол OEC прямой, а угол OCE равен 45°. Поэтому

OE = OC/2 = 1/2(CD–  OD) = AB/22(1 - cos ).

Теперь можно найти тангенс искомого угла:

tg x = OS/OE = 2 ctg /2.

Если угол тупой, то (рис. P.3.20, б) снова получим CD = SD = AB/2. Высота OS равна

OS = SD sin ( - ) = AB/2 sin ,

отрезок OD равен

OD = SD cos ( - ) = - AB/2 cos

(угол тупой и cos < 0). Треугольник СОЕ тоже прямоугольный и равнобедренный. Поэтому

OE = CO/2 = 1/2(CD + OD) = AB/22(1 - cos ).

Так как для OE и OS получились такие же значения, как в первом случае, то и окончательный результат не изменится.

Ответ. x = arctg (2 ctg /2). 

3.21. Проведем в треугольнике ABC (рис. P.3.21) высоту BD и соединим точку D с вершиной S пирамиды. Так как ребро SB образует равные углы с ребрами SC и SA, то SD — биссектриса угла ASC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. B нем

AD = SA · tg /4, AB = SA · tg , т. е.

Так как — угол прямоугольного треугольника, то 0 < < /2, а потому tg /4 < tg и правая часть уравнения меньше единицы.

Ответ.

3.22. Пусть M — середина AB. Тогда медианы СМ и DM (рис. P.3.22) являются одновременно высотами в равнобедренных треугольниках ABC и ABD. Следовательно, прямая AB перпендикулярна к плоскости CMD, а потому и к прямой CD, лежащей в этой плоскости. Треугольник CMD равнобедренный, так как СМ и MD — медианы, проведенные к общей стороне в равных треугольниках. Следовательно, его высота MK будет одновременно и медианой. Итак, отрезок KM, соединяющий середины AB и CD, есть общий перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому центр описанного около тетраэдра ABCD шара должен лежать на этом отрезке.

Из треугольников MDB и MDK последовательно находим MD = 65, MK = 7. С другой стороны, из треугольников OKD и AMO находим

Ответ. R = 5.

3.23. Проведем через точку O (рис. P.3.23) сечение B1EC1 пирамиды, перпендикулярное к стороне SA. Тогда угол B1EC1 равен , а OE = а. Так как пирамида правильная, то в силу симметрии треугольник B1EC1 равнобедренный, а B1C1 и BC параллельны.