Шрифт:
7.6. Вычислите значения выражения
7.7. Преобразуйте выражение
так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.
7.8. Разложите на линейные относительно x, у, z, u множители выражение
(xy + zu)(x^2 - y^2 + z^2 - u^2) + (xz + yu)(x^2 + у^2 - z^2 - u^2).
7.9. Докажите, что
7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то
7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство
7.12. Докажите, что
для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.
7.13. Докажите, что из условия
следует
(а + b + с)^3 = 27аbс.
7.14. Квадратный трехчлен 24х^2 + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.
Глава 8
Делимость многочленов.
Теорема Безу. Целые уравнения
Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство
P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)
является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).
Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения
а0хn + a1xn - 1 + ... + аn - 1x + аn = 0
имеют место формулы:
Для уравнения a0xn + a1xn - 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель q — делителем коэффициента а0.
В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.
8.1. Решите уравнение
(x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = 1.
8.2. Решите уравнение
(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.
8.3. Докажите, что уравнение
x^2 - 3у^2 = 17
не имеет решений в целых числах.
8.4. Найдите все целые решения уравнения
x^2 - 6xу + 13у^2 = 100.
8.5. Найдите остаток от деления многочлена x99 + x^3 + 10x + 5 на многочлен x^2 + 1.