Шрифт:
8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения
2x^2у^2 + у^2 - 6x^2 - 12 = 0.
8.7. В уравнении
x4 + аx^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0
один из корней равен 3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.
8.8. При каких значениях а оба корня уравнения
x^2 - (а + 1)x + а + 4 = 0
отрицательны?
8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения
x^3 + аx^2 + bx + с = 0
образуют геометрическую прогрессию.
8.10. Известно, что уравнение x^3 + px + q = 0 имеет корни 1, 2, 3. Выразите сумму 1^2 + 2^2 + 3^2 через p и q.
8.11. При каких а и трехчлен х^3 + ax + 1 делится на двучлен x - без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?
8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x - 2 и x - 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x - 2)(x - 3).
8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х4 + 1 делится на x^2 + рх + q.
8.14. Докажите, что многочлен
x^2n + 1 - (2n + 1)хn + 1 + (2n + 1)хn - 1,
где n — натуральное число, делится на (x - 1)^3.
8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен
6х4 - 7х^3 + рх^2 + 3х + 2
делился без остатка на x^2 - x + q.
Глава 9
Алгебраические уравнения и системы
Равенства. Тождества. Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство.
Примеры равенств:
а^2 + b^2 = с^2, 3 = 3, 3 = 5,
sin^2 x + cos^2 x = 1,
Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.
Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а^2 + b^2 = с^2 при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin^2 x + cos^2 x = 1 истинно при всех действительных значениях x, а равенство sin x = 3 всегда ложно.
Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно) перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство