3.50. Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной а, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислите объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен .

3.51. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного в него шара. Определите отношение объема конуса к объему шара.

3.52. В основании произвольной (не обязательно прямой) призмы лежит правильный треугольник. Высота призмы равна H. Площади двух боковых граней равны S1, а площадь третьей равна S2. Найдите сторону основания. Исследуйте решение.

3.53. Найдите способ, позволяющий вписать в куб сразу четыре пирамиды: две треугольные и две четырехугольные — так, чтобы их суммарный объем был наибольшим.

3.54. Основанием треугольной пирамиды SABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Высота пирамиды, опущенная из вершины S, равна 4, а основание этой высоты принадлежит основанию ABC, включая его границу. Около пирамиды описали шар радиусом R. Найдите наименьшее возможное значение R, удовлетворяющее условиям задачи [1] .

Умение правильно построить сечение по трем точкам упрощает решение некоторых геометрических задач.

Прежде чем приступать к решению задач этой главы, разберите несколько примеров на построение сечений и теней.

Пример 1. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.1.

Точки P и Q (и точки Q и R) можно соединить сразу, так как они лежат в одной из граней куба.

Чтобы построить прямую, по которой плоскость сечения пересечет нижнее основание куба (эта прямая называется следом), нужно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одна точка нам дана — это точка R. Другую точку найдем, если продолжим до пересечения отрезки DC и PQ. Это можно сделать, так как указанные отрезки лежат в одной плоскости и, как видно из рис. 4.1, не параллельны. Полученная в результате точка S будет лежать в плоскости нижнего основания, так как вся прямая DC лежит в этой плоскости.

Через точки R и S мы теперь проведем след, который оставит плоскость сечения на плоскости нижнего основания. В результате получим точку T. После того как точки T и P соединены, сечение построено.

Несколько усложним задачу.

Пример 2. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.2.

В этом случае одной вспомогательной точки окажется недостаточно. Хотя из рис. 4.2 видно, что сечение не пересечет плоскость нижнего основания, нужно построить след плоскости сечения на нижнем основании. Точку S мы построим так же, как в примере 1, а вторую точку T найдем, продолжив отрезки RQ и AD. След ST пересечет прямую BC в точке U. Так как точки U и P лежат в плоскости сечения, то, соединив их, найдем точку V, принадлежащую сечению куба, которая позволит завершить построение.

Пример 3. Построить сечение куба, проходящее через точку R, расположенную на передней грани куба, и точки P и Q — на ребрах задней его грани (рис. 4.3).

И на этот раз нам поможет построение следа плоскости сечения на плоскости нижнего основания. Чтобы было ясно, что точка R лежит на плоскости передней грани куба, спроецируем ее на основание. Проекция прямой PR и прямая PR пересекутся в точке S, принадлежащей следу. Вторую точку U следа мы получим, продолжив до пересечения BC и PQ. След US пересечет куб по отрезку VТ. Продолжим  TR до пересечения с DD1 в точке G. Чтобы закончить построение, получим еще одну вспомогательную точку F так, как это было сделано в первом примере.

Построение теней осуществляется с помощью тех же самых приемов. При этом нужно в качестве вспомогательной точки использовать проекцию источника света на плоскость, на которую падает тень.

Построим, например, тень, отбрасываемую вертикальной спичкой AB на плоскость P (концом В спичка упирается в плоскость), если источник света расположен в точке Q, а точка Q1 есть проекция точки Q на плоскость P (рис. 4.4, а). Проведем две прямые AQ и BQ1, пересекающиеся в точке А1. Отрезок А1В и будет тенью спички AB.