Размещения с повторениями, образованные из n элементов a1, a2, ..., аn так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a1 входит 1 раз, элемент a2 входит 2 раз, ..., элемент an входит n раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают 

Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле

вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k– 1.

Для любого натурального n справедливы разложения

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а1, а2, а3, а4, а5. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а1, а на втором — элемент, отличный от а2.

21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6. Вычислите сумму

21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)n являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d)n.

21.9. Найдите коэффициент при хk в разложении

(1 + x + x^2 + ... + хn– 1)^2.

21.10. Для бинома (1/5x + 2/5)n найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении

(1 + x^2 + х5)20 = а0 + а1х + а2х^2 + ... + а100х100.

21.12. Дана последовательность а1, а2, а3, ..., а10. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?

21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?

Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.

Если arcsin x = (-1 <= x <= 1), то sin = x и -/2 <= <= /2 .