Шрифт:
Рассмотреть треугольник О2СО1. Выразить О2С через x и R, используя тот факт, что угол ОАВ = 45°.
1.49. Угол АМС равен - 2. Если МВ = МС = рx, то AC можно выразить из треугольников АМС и АВС. Приравняв эти выражения, получим уравнение относительно x.
1.50. Если стороны треугольника а, а– d, а + d, то его полупериметр p = 3a/2 . Из формулы Герона получим уравнение относительно а:
Это уравнение нужно решить относительно а. Подберите удобную замену переменной.
1.51. Пусть PP1 — средняя линия треугольника АВС, а QQ1 — средняя линия треугольника PBP1 Пусть далее P1 — точка пересечения PP1 и BR, а Q2 — точка пересечения QQ1 с BR. Убедитесь в подобии треугольников Р2TP и Q2TQ.
1.52. Рассмотрите треугольники с общей вершиной, опирающейся на отрезки, которые участвуют либо в условии задачи, либо в искомом соотношении.
1.53. MN — хорда второй окружности, ее центральный угол МО2N равен 150°, что следует из рассмотрения первой окружности.
1.54. Так как + + + = 180°, то площадь S четырехугольника АВСD равна
S = 1/2 ab sin ( + ) + 1/2 cd sin ( + ) = 1/2 sin ( + ) (ab + cd).
Далее воспользоваться теоремой синусов, в силу которой а = 2R sin , b = 2R sin , ... .
K главе 2
2.1. Осуществить параллельный перенос отрезка DC в точку В.
2.2. Сколько решений имеет задача?
2.3. Точки А и А1 лежат на прямой, параллельной BC и отстоящей от BC на расстоянии hа. Нужно найти еще одно свойство любой из этих точек; в этом должен помочь угол .
Отразив треугольник СА1А от оси А1А, получим треугольник С1А1А (рисунок сделайте самостоятельно). Фигура С1АВА1 — параллелограмм, у которого вершины С1 и В фиксированы, углы известны, а две другие вершины нужно построить.
2.4. Зная R и b, можно построить треугольник АОF (рис. II.2.4). Остается использовать медиану mс. Чтобы это сделать, нужно, после того как построен треугольник АОF, построить середину отрезка AB.
2.5. Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. Для этого достаточно вычислить угол ВО1С.
2.6. Предположим, что точки D и E найдены (рис. II.2.6). Если через любую точку F, лежащую на AB, провести прямую FG, параллельную DЕ и пересекающую АЕ в точке G, а через точку G — прямую GH, параллельную ЕС, то получим четырехугольник AFGH, подобный АDЕС, с центром подобия в точке А.
2.7. «Средним» будет такое положение прямой FЕ, когда FM = ME.
2.8. В треугольнике А1АА2 известны основание и высота. Третий элемент этого треугольника можно найти, если использовать данный в условии угол А треугольника АВС, через который легко выразить угол А1АА2.