3.44. В предыдущих рассуждениях не использовано условие, согласно которому три стороны трапеции, являющейся боковой гранью пирамиды, равны b. С помощью этого условия можно найти другое выражение площади боковой грани через а и b и приравнять первому. (!!)

Решить полученное однородное уравнение относительно а/b . Остается связать величину b с радиусом вписанного шара. Для этого достаточно рассмотреть треугольник, получающийся при проецировании одной вершины верхнего основания на нижнее.

3.45. Обозначим через О1 и O2 центры меньших шаров, через O3 — центр большего шара, через О — центр шара, радиус которого нужно найти (рис. 11.3.45); Р1 Р2, Р3, P — соответственно точки касания этих шаров с плоскостью. Радиус искомого шара обозначим через x. Тогда известны длины изображенных на рисунке отрезков: О1Р1 = O2Р2 = r, O3Р3 = R, ОР = x, O1O2 = 2r, O1O3 = O2O3 = R + r, OO1 = OO2 = r + x, OO3 = R + x. Мы считаем очевидным, что x < r. (!!)

Нужно найти соотношение, связывающее величины R, r и x. Для этого придется рассмотреть треугольник Р1Р2Р3 и вычислить длины проекций отрезков, соединяющих центры шаров. Так как шары O1 и O2 равны, то O2O3 = O1O3 и, следовательно, Р2Р3 = Р1Р3. Поэтому точка P лежит на высоте и медиане равнобедренного треугольника Р1Р2Р3.

3.46. Обозначим через O1 центр одного из двух равных шаров, а через O3 — центр меньшего шара. Пусть эти шары касаются нижней грани двугранного угла (рис. 11.3.46) в точках В и D соответственно. Прямоугольные треугольники O1АВ и O3CD имеют углы при вершинах А и С, равные /2 . Чтобы использовать факт касания шаров O1 и O3 и наличие у них общей касательной плоскости , нужно рассмотреть треугольник O1O3F, в котором О1О3 = R + r (R — радиус большего шара, r — радиус меньшего шара), O1F = R– r (F — проекция точки О3 на отрезок О1В). Если удастся выразить O3F через R, r и , то мы получим соотношение, позволяющее определить угол . (!!)

Отрезок O3F (см. рис. II.3.46) равен ВD, а ВD можно выразить через катеты прямоугольного треугольника ВDЕ, где E — проекция точки D на отрезок AB. Чтобы найти ЕD, нужно воспользоваться фактом касания шаров О1 и О2, сделайте на рисунке необходимые построения, рассмотрев проекцию их линии центров на плоскость .

3.47. Так как каждый из трех шаров с центрами в точках О1, О2, О3 касается боковой поверхности конуса и плоскости P, то длина перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость P, равна длине перпендикуляра, опущенного из центра на ближайшую к нему образующую (рис. II.3.47).

3.48. Оси двух соседних конусов и их общая образующая лежат в одной плоскости (докажите). Рисунок, сделанный в предположении, что ось конуса и две образующие, по которым происходит касание с соседними конусами, лежат в одной плоскости, будет неверным. При таком расположении конусов касание происходило бы по диаметрально противоположным образующим, т. е. основание конуса было бы перпендикулярно к плоскости, и общая вершина конусов не смогла бы лежать в этой плоскости. (!!)

Угол между осями соседних конусов искомый.

3.49. Центр сферы, построенной на AB, обозначим через О1, а центр вписанной сферы — через О2. Пусть F — точка касания сферы О2 с гранью САD. Треугольники FO2A и OKA подобны.

3.50. Плоскость, проведенная через ось РР и точку О — центр основания пирамиды (обозначим ее через ), разобьет пирамиду SАВСD на две равные части, расположенные симметрично относительно этой плоскости. Вместо всей пирамиды можно вращать вокруг РР одну из этих частей. Теперь нужно заменить пирамиду плоской пластинкой, дающей при вращении то же тело, что и пирамида. Для этого каждое из сечений SEF пирамиды нужно перенести с помощью поворота в плоскость . (!!)

В плоскости образуется пятиугольник специального вида. Такой пятиугольник можно получить, если на одно из оснований прямоугольника поставить равнобедренный треугольник.

3.51. Способ 1. Из полученного тригонометрического уравнения удобно определить cos 2 и воспользоваться этой величиной для нахождения отношения Vк : Vш.

Способ 2. Естественно воспользоваться леммой, в силу которой V1 = 1/3 rS6, т. е. объем первого тела вращения равен одной трети произведения радиуса вписанного в конус шара на его боковую поверхность.