В этих уравнениях значение SD^2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимо­связи. Отметьте, что последнее из уравнений — это теорема Пифагора: сумма квад­ратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза это А, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон, G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD или V^(1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению А. Когда D равно нулю, тогда А равно G, этим самым соответствуя ложно толкуе­мой функции роста TWR = (1 + R)^ N. Действительно, когда D равно нулю, тогда А равно G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение А^ 2 оказывает на G то же воздей­ствие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2.

Чтобы понять это, рассмотрим изменение А от 1,1 до 1,2:

Когда A=l,l,ToSD=0,l. Когда А = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899, согласно уравнению (1.27). Так как М = = 0,8 * SD,ToM=0,3919. Если мы возведем в квадрат значения А и SD и рассчитаем раз­ность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29). Рассмотрим следующую таблицу:

Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разбро­са (SD или М), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при ну­левой дисперсии, G равно А. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой ос­нове, должен максимизировать G, но не обязательно А. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и А в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стан­дартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметичес­кого среднего HPR (т.е. А), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19а):

Подставим А вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (X ^Y) ^ Z = Х ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы: А, SD и N — влияют на ре­зультат торговли. Очевидны несколько фактов. Во-первых, если А меньше или равно единице, тогда при любых значениях двух других переменных, SD и N, наш результат не может быть больше единицы. Если А меньше единицы, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если А меньше или равно 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно А - 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фак­тически, если А меньше 1, то наше разорение — это просто вопрос времени (то есть достаточно большого N).

При условии, что А больше 1, сростом N увеличивается наша прибыль. На­пример, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклоне­ние 0,25. Таким образом:

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475; 1,1475 ^ (1/2) = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу

соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сдел­ка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее гео­метрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выражен­ная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация по­зволяет вам как бы увеличить N (т.е. количество сделок) за определенный период времени. Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмот­рении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький stop-loss). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете больше потерять. Вас выбьет с рынка из-за слишком большо­го количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку А уменьшается в большей степени, чем SD. Вместе с тем, и уменьшение больших выигрышных сделок поможет ва­шей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает А. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базо­вого инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опцио­на), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная пози­ция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в боль­шей степени, чем уменьшить А. Если вы получаете прибыль по базовому инстру­менту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток опциону лишь незначи­тельно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как ваше SD, так и А. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увели­чить А и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшить SD в большей степени, чем уменьшить А.

Конечно, издержки на трансакции при такой стратегии довольно значи­тельны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться такой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стра­тегии и различные торговые правила должны рассматриваться сточки зре­ния фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оце­нить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована выше­упомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуа­ция, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и по­зиция по пут-опциону, эквивалентна просто длинной позиции по колл-опциону. В том случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на трансакции будут существенно ниже [4] , чем при наличии длинной позиции по базовому инструмен­ту и длинной позиции по пут-опциону. Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 году. Допустим, мы покупаем базовый инструмент — индекс ОЕХ. Система, кото­рую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом кана­ла. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низ­кий минимум последних 20 дней. Затем, в течение дня, если рынок повыша­ется и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает по­стоянную торговлю на рынке: