Шрифт:
Будем говорить, что атомы из «верхнего» пучка находятся по отношению к этому прибору в состоянии (+), атомы из «нижнeгo» — в состоянии (-). (Нуль-состояния для спина 1/2 не
существует.)
Положим теперь, что мы поставили два наших усовершенствованных прибора Штерна — Герлаха один за другим фиг. 4.2, а).
Фиг. 4.2. Два эквивалентных эксперимента.
Первый (назовем его S) можно употребить на то, чтобы приготовлять чистое состояние (+S) или (-S), загораживая то один, то другой пучок. [На рисунке приготовляется чистое состояние (+S).] При любом расположении всегда есть некоторая амплитуда того, что частица, выходящая из S, окажется в пучке (+Т) или (-Т) второго прибора. Всего таких амплитуд четыре: амплитуды перехода от (+S) к (+T), от (+S) к (-Т), от (-S) к (+Т) и от (-S) к (-T). Эти амплитуды — просто четыре коэффициента матрицы преобразования Rji перехода от представления S к представлению Т. Можно считать, что первый прибор «приготовляет» определенное состояние в одном представлении, а второй «анализирует» это состояние в терминах второго представления. Мы хотим научиться отвечать на такие вопросы: если, загородив один из пучков в S, мы приготовили атом в данном состоянии, например в состоянии (+5), то каково будет изменение, которое он испытает, пройдя через прибор Т, который настроен на состояние (-T)? Результат, конечно, будет зависеть от углов между системами S и Т.
Мы должны объяснить, почему есть надежда найти коэффициенты Rjiтеоретически. Почти невозможно поверить, что если у частиц спин был выстроен в направлении +z, то есть хоть какой-то шанс обнаружить, что ее спин ориентирован в направлении +x или в каком-либо другом направлении. Это действительно почти невозможно. Но все же не совсем. Это настолько невозможно, что остается лишь один путь, каким это происходит, а если этот путь один, то его уже можно найти.
Первое рассуждение можно провести так. Предположим, что, как показано на фиг. 4.2, а, прибор Т направлен вверх под углом а относительно S. Пусть через S проходит только пучок (+), а через Т — только пучок (-). Мы измерили некоторую вероятность того, что частицы, выходя из S, пройдут сквозь Т. Теперь предположим, что мы делаем второе измерение прибором, показанным на фиг. 4.2, б. Относительная ориентация S и Т одинакова, но вся система расположена в пространстве под другим углом. Мы хотим предположить, что оба опыта приведут к одному и тому же значению вероятности того, что частица в чистом состоянии относительно S окажется в некотором определенном состоянии относительно Т, Иными словами, мы предполагаем, что результат любого опыта такого рода одинаков, что сама физика одинакова, как бы весь прибор ни был ориентирован в пространстве. (Вы скажете: «Это самоочевидно». Но это все же только предположение, и оно «правильно» только тогда, если так действительно бывает.) Это означает, что коэффициенты Rjiзависят лишь от взаимного расположения S и Т в пространстве, а не от абсолютного их расположения. Выражаясь иначе, Rjiзависит только от поворота, который переводит S в Т, потому что общим для фиг. 4.2, а и б, очевидно, является трехмерный поворот, переводящий прибор S в положение прибора Т. Когда матрица преобразования Rjiзависит, как в нашем случае, только от поворота, ее называют матрицей поворота.
Для следующего шага нужно еще немного информации. Пусть мы добавили третий прибор (назовем его U), стоящий вслед за Т под каким-то произвольным углом (фиг. 4.3, а).
Фиг. 4.3. Если Т «открыт до отказа», то б эквивалентно а.
(Все это начинает выглядеть устрашающе, но в этом-то и прелесть отвлеченного мышления: самые сверхъестественные опыты можно ставить, просто проводя новые линии!) Что же представляет собой преобразование S®Т®U? Фактически нас интересует амплитуда перехода из некоторого состояния по отношению к S к некоторому другому состоянию по отношению к U, если известны преобразования от S к Т и от Т к U, Поинтересуемся сперва опытом, в котором в Т открыты оба канала. Ответ можно получить, дважды подряд применяя (4.5). Для перехода от S– представления к T– представлению имеем
где верхние индексы TS нужны, чтобы отличать это R от RUT, когда мы будем переходить от Т к U.
Обозначая амплитуды появления атома в базисных состояниях представления U через C"k, можно связать их с T– амплитудами, применяя (4.5) еще раз; получим
Теперь можно из (4.6) и (4.7) получить преобразование от S прямо к U. Подставляя С'jиз (4.6) в (4.7), имеем
Или, поскольку в RUTkjотсутствует i, можно поставить суммирование по i впереди и написать
Это и есть формула двойного преобразования.
Заметьте, однако, что, пока пучки в Т не загораживаются, состояния на выходе из Т те же, что и при входе в него. Мы могли бы с равным успехом делать преобразования из S– представления прямо в представление U. Это значило бы, что прибор U поставлен прямо за S, как на фиг. 4.3, б. В этом случае мы бы написали