Шрифт:
(10.6)
Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.
Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем
(x
0
– y
0
)
[
V
0
qq'
(x),q''(y)]=-(x-y)
qq''
q'(x)
,
(x
0
– y
0
)
[
A
0
qq'
(x),q''(y)]=-(x-y)
qq''
5
q'(x)
и т.д.
(10.7)
Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и духов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна , действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (f= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде
V
(x)=
ff'
q
f
(x)
ff'
q
f'
(x) ,
A
(x)=
ff'
q
f
(x)
ff'
5
q
f'
(x) ,
(10.8)
то возникают следующие коммутационные соотношения:
(x
0
– y
0
)[V
0
(x),V
(y)]=2i(x-y)f
V
(x) ,
(x
0
– y
0
)[V
0
(x),A
(y)]=2i(x-y)f
A
(x) ,
(x
0
– y
0
)[A
0
(x),A
(y)]=2i(x-y)f
V
(x) и т.д.
(10.9)
Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию -функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.
Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток J сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид
Q
J
=
d
xJ
0
(t,
x)
,
t=x
0
.
Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом: