log

0

d log '

(

g

('),

m

('),

a

(')

– 1

)

}

.

(12.7)

Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в раз функция Грина R не умножается просто на величину как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину обычно называют аномальной размерностью функции Грина R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.

21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].

Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.

§ 13. Перенормировка составных операторов

Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.

Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока Jem=QqVq, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы Vq имеют следующий вид:

V

q

(x)=:

q

(x)

q(x): ;

и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения

 

V

(x)=0 .

q

(13.1 а)

В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток

A

qq'

(x)=:

q

(x)

5

q'(x): .

Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям

A

qq'

(x)=i(m

q

+m

q'

)J

5

qq'

(x) , J

5

qq'

(x)=:

q

(x)

5

q'(x): ,

(13.1 б)

из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.

Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными 21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей ZF, ZemF и т.д.

Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор i:qi(x)qi(x)M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной ququ и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z– 1Fququ , проводя подстановки g->gu=Zgg для константы связи и m->mu=Zmm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель ZM, называемый перенормировочным множителем оператора:

M

R

(x)=Z

M

M(x) .

(13.2)

Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q0q0u или B0B0u. В терминах свободных полей оператор MR записывается в виде

M

R

(x)=Z

M