Шрифт:
(all)aa'
(5.10)
Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.
L
=
{
i
q
q-m
q
q
}
-
1
(DxB)
2
-
(B)
q
4
2
q
QCD
+
(
)(
– gf
B
)
,
a
ab
abc
c
b
=
1-1/
(5.11)
Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана L индекс КХД мы также будем опускать.
2. Физические калибровки
Появление духов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка8), однако она тоже не свободна от духов. Необходимость введения духов исчезает, если потребовать выполнения соотношений
8 Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].
n·B=0,
n
2
<=0.
(5.12)
Случай пространственноподобного вектора n(n2<0) соответствует аксиальным калибровкам9), а случай светоподобного вектора n(n2=0) — светоподобной калибровке10). Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.
9 Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.
10 См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.
Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид
L
{
i
q
q - m
q
q
}
-
1
(DxB)
2
–
1
(n·B)
2
.
n
q
4
2
q
(5.13)
В дальнейшем по параметру подразумевается предельный переход ->0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде
i
– g
– k
k
(n
2
+k
2
)/(k·n)
2
+ (n
k
+n
k
)(n·k)
– 1
;
k
2
+i0
(5.14)
в пределе ->0 он принимает вид
i
– g
– n
2
(k
k
/(k·k)
2
) + (n
k
+n
k
)/(k·n)
.
k
2
+i0
(5.15)
Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.