Шрифт:
)+постоянные члены
}
.
(5.18)
Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить духи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению
P
(q,u)
{
– q
2
g
+q
q
}
P
(q,u)
=
P
(q,u)
q
2
q
2
q
2
(5.19)
§ 6. Преобразования Бекши - Роуета - Стора
В предыдущем параграфе было показано, что если в лагранжиане КХД, записанном в лоренцевой калибровке, не учесть вклада духов, то это приводит к нарушению унитарности S-матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S-матрицы должно выполняться в любой калибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос: нельзя ли интерпретировать введение духов как способ восстановить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.
Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид
10a В изложении мы следуем работам [221, 222].
L
=
(i
- m) -
1
F
F
–
(
A
)
2
,
4
2
(6.1)
где тензор F и ковариантная производная D определяются формулами
F
=
A
–
A
,
D
=
+ieA
.
Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(/2)(A)2. Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида
L
=- 1/2 (
)
(6.2)
соответствующий свободному безмассовому полю . Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля . Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде (x)=(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам
(x)->(x)+ie(x)(x),
A– >A– (x),
(x)->(x)-A(x).
(6.3)
Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов L и L:
L
=L
+L
QED
(6.4)
инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана L не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)
Рассмотрим величину A(x)(0)0. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру получаем
A(x)(A(0))0 = ((x))(0)0.
Фурье-образ этого выражения имеет вид
d
4
xe
iq·x
A
(x)
A
(0)
0
=
iq
d
4
xe
iq·x
A
(x)A
(0)
0
=iq
D
(q)
=
– 1
d
4
xe
iq·x
(
(x))(0)
0
=
i